Date due grandezze disuguali, se dalla maggiore si tolga più della sua metà, e da ciò che rimane tolgasi ancora più della sua metà, e così di seguito, resterà finalmente una grandezza la quale sarà minore della minore grandezza data.

Siano le due grandezze date AB, C, e sia AB la maggiore: dico che se dalla AB si tolga più della sua metà, e da ciò che rimane tolgasi ancora più che la sua metà, e così di seguito; rimarrà finalmente una grandezza la quale sarà minore della grandezza C.

Imperocchè la G moltiplicata potrà diventar maggiore della AB: moltiplichisi, e sia la DE moltiplice della C e maggiore della AB, e dividasi la DE nelle sue parti DF, FG, GE uguali alla C. Tolgasi ora BG e dalla AB la BH maggiore della metà della AB, e dalla AH che rimane tolgasi la HK maggiore della metà della AH, e questo si continui a fare finché le divisioni che sono nella AD siano uguali di numero a quelle che sono nella DE. Siano adunque le AK, KH, HB uguali di numero alle DF, FG, GE: e perchè la DE è maggiore della AB, e si è tolta dalla DE la EG minore della sua metà, e dalla AB la BH maggiore della sua metà, sarà la rimanente DG maggiore della rimanente AH.

Perchè poi la DG è maggiore della AH, e si è tolta dalla DG la G F che ò la sua metà, e dalla AH la HK che è maggiore della sua metà, sarà la rimanente DF maggiore della rimanente AK: mala DF è uguale alla C, onde sarà la C maggiore della AK, e però la AK minore della C. Rimane adunque della grandezza AB la grandezza AK che è minore della grandezza C, la minore delle due date, c. d. d.

Il lemma precedente, il quale non è che la proposizione I del libro X, è necessario per la dimostrazione di alcune proposizioni di questo libro XII.