In un dato cerchio adattare una linea retta uguale ad un’altra data, la quale non sia maggiore del diametro.

Sia ABC il cerchio dato, e D la linea retta data, non maggiore del diametro del cerchio: bisogna adattare nel cerchio ABC una linea retta uguale alla D.

Tirisi un diametro BC, e se BC è uguale alla D, sarà fatto ciò che si proponeva, perciocché nel cerchio ABC si sarà adattata la BC uguale alla linea retta D.

Ma se non è uguale, la BC è maggiore della D: pongasi la CE uguale alla D, e dal centro C coll’intervallo CE descrivasi il cerchio AEF, e conducasi CA.

Perché il punto C è centro del cerchio AEF, la CA sarà uguale alla CE: ma la D è uguale alla CE; adunque eziandio la D sarà uguale alla AC. Onde nel dato cerchio ABC si è adattata la AC uguale alla data linea retta D, non maggiore del diametro del cerchio: il che bisognava fare.

In un dato cerchio inscrivere un triangolo equiangolo ad un altro triangolo dato.

Sia ABC il dato cerchio, e DEF il triangolo dato; bisogna inscrivere nel cerchio ABC un triangolo equiangolo al triangolo DEF. Tirisi una linea retta GAII tangente al cerchio ABC nel punto A [HI, 17]; e costruiscasi l’angolo HAC uguale all’angolo DEF [1,23] e l’angolo G AB uguale all’angolo DFE, e congiungasi B con C.

Poiché la linea retta HAG è tangente al cerchio ABC, e dal punto di contatto è tirata nel cerchio la AC, l’angolo HA C sarà uguale a quello che è nell’altro segmento del cerchio [HI, 32], cioè all’angolo ABC; ma l’angolo HAC è uguale all’angolo DEF; adunque l’angolo ABC è uguale all’angolo DEF. Per la medesima ragione l’angolo ACB è uguale all’angolo DFE, ed il rimanente BAC sarà uguale al rimanente EDF [I, 32]. Adunque il triangolo ABC è equiangolo al triangolo DEF, ed è inscritto nel cerchio ABC: onde nel dato cerchio si è inscritto un triangolo equiangolo ad un altro triangolo dato; il che bisognava fare.