Se di due linee rette, l’una sia segata in più parti, il rettangolo contenuto dalle due linee è eguale alla somma dei rettangoli contenuti dalla linea non segata e da ciascuna parte dell’altra.

Siano due linee rette A, BC, e la BC sia segata in qualunque modo ne’ punti D, E. Dico il rettangolo contenuto dalle linee rette A, BC essere eguale al ret-

tangolo contenuto dalle A, BD, al rettangolo contenuto dalle A, DE, ed a quello che è contenuto dalle A, CE, presi insieme.

Perciocchè tirisi dal punto B la BF ad angoli retti sopra la BC e pongasi la BG uguale alla A. Poi per G tirisi la GH parallela alla BC, e per i punti D, E, C tirinsi le DK, EL, CH parallele alla BG. Allora il rettangolo BH è la somma dei rettangoli BK, DL, EH. Ma il rettangolo BH è quello che si contiene dalle A, BC, essendo contenuto dalle GB, BC, ed essendo la BG uguale alla A. Così il rettangolo BK è quello che si contiene dalle A, BD; ed il rettangolo DL è quello che si contiene dalle A, DE. Parimente il rettangolo EH è contenuto dalle A, EC. Onde se di due linee rette, ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata in più parti, la somma dei rettangoli contenuti da tutta la linea e da ciascuna delle parli è eguale al quadrato costruito sopra tutta la linea.

La linea retta AB sia segata in qualsivoglia modo nel punto C. Dico ohe il rettangolo contenuto dalle AB, BC insieme con quello che si contiene dalle BA, AC sarà eguale al quadrato di AB.

Descrivasi sulla AB il quadrato ADEB [I, 46], e tirisi per C la CF parallela alle AD, BE. Allora il quadrato AE è eguale, alla somma dei rettangoli CE. Ma AE è il quadrato di AB; il rettangolo AF è contenuto dalle BA, AC; ed il rettangolo CE è contenuto dalle AB, BC. Dunque se una linea retta, ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata in qualunque modo, il rettangolo contenuto da tutta la linea e da una parte di essa è eguale al rettangolo contenuto dalle due parti preso insieme col quadrato di detta parte.

La linea retta AB sia segata,in qualunque modo nel punto C. Dico che il rettangolo delle AB, BC è eguale al rettangolo delle AC, BC, preso insieme col quadrato della BC.

Descrivasi sulla BC il quadrato CDEB, prolunghisi ED in F, e per A tirisi la AF parallela alle CD, BE. Allora il rettangolo AE è eguale ai rettangoli A D, l’CE, presi insieme. Ma il rettangolo AE è contenuto dalle AB, BC; il rettangolo AD è contenuto dalle AC, ÇB, ed è DB il quadrato della BC. Dunque se una linea retta, ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata in qualunque modo, il quadrato di tutta la linea è eguale ai quadrati delle parti ed al doppio rettangolo contenuto dalle dette parti, presi insieme.

Sia la linea retta AB divisa in qualunque modo nel punto C. Dico che il quadrato di AB è eguale ai quadrati di AC, CB, ed al doppio del rettangolo contenuto dalle AC, CB.

Descrivasi sulla AB il quadrato ADEB, conducasi BD, per C tirisi CGF parallela alle AD, BE e per G tirisi HK parallela alle AB, DE. Perchè la CF è parallela alla AD ed in esse cade la BD, sarà l’angolo esterno BGC uguale all’interno opposto ADB, ma l’angolo ADB è uguale all’angolo ABD, perchè il lato DA è uguale al lato AD [I, 5]. Onde l’angolo CGB è uguale all’angolo GBC, e perciò il lato BC è uguale al lato CG [I, 6]; ma il lato CB è anco uguale al lato GK, e CG a BK; adunque eziandio GK è uguale a KB e CGKB è equilatero. Dico oltre a ciò essere rettangolo, perchè essendo la CG parallela alla BK, ed in esse cade la CB, la somma degli angoli KBC, GCB è uguale a due retti; ma è retto l’angolo KBC, adunque eziandio GCB è retto, e retti sono gli angoli opposti CGK, GKB. Onde CGKB è rettangolo. Ma fu dimostrato che è ancora equilatero, adunque CGKB è il quadrato [def. 30] della BC, e per la medesima ragione HF è il quadrato della HG, cioè della AC, e perchè il rettangolo AG è uguale al rettangolo GE [I, 43], ed AG è quello che si contiene dalle AC, CB, sarà ancora GE uguale a quello che si contiene dalle AC, CB. Ora la somma degli spazi HF, CK, AG, GE fa tutto il quadrato ADEB, costruito sulla AB. Laonde se una linea retta, ecc. c. d. d.

Da questo si vede chiaramente che nel quadrato i parallelogrammi che sono intorno alla diagonale sono anch’essi quadrati.

Se una linea retta sia segata in parti eguali, ed in parti disuguali, il rettangolo contenuto dalle parti disuguali, preso insieme col quadrato della linea che è fra i due punti di divisione è eguale al quadrato della metà di tutta la linea.

Sia la linea retta AB segata in parti eguali nel punto C, ed in parti disuguali in D. Dico che il rettangolo contenuto dalle AD, DB insieme col quadralo di CD, è eguale al quadrato di CB.

Descrivasi sopra BC il quadrato CEFB, conducasi BE, per D tirisi la DHG parallela alle CE, BF, per H tirisi KLO parallela alle CB, EF, e finalmente per A tirisi AK parallela alle CL, BO. Poiché il supplemento CH è eguale al supplemento HF [I, 43], aggiungendo DO si otterrà tutto il rettangolo CO eguale a tutto DF. Ma CO è eguale ad AL [I, 36], perchè AC è eguale a GB. Onde eziandio AL è eguale a DF. Aggiungasi CH ad ambedue; verrà tutto il rettangolo AH eguale alla somma dei due FD, DL. Ma AH è contenuta dalle AD, DB, ed i rettangoli FD, DL formano il gnomone MNX. Adunque il gnomone MNX è eguale al rettangolo contenuto dalle AD, DB. Aggiungendo ad ambedue LG, che è il quadrato fatto sopra CD, abbiamo che il gnomone MNX insieme con LG, ossia il quadrato CEFB, costruito sopra CB, è eguale al rettangolo contenuto dalle AD, DB insieme col quadrato di CD. Ma il gnomone MNX ed il quadrato LG formano il quadrato CEFB, costruito sulla CB. Adunque il rettangolo delle AD, DB insieme col quadrato di CD è eguale al quadrato di CB. Dunque se una linea retta, ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata per metà, e vi si aggiunga un’altra linea per diritto, il rettangolo contenuto da tutta la linea composta e dalla aggiunta, insieme col quadrato della metà della prima retta, è eguale al quadrato costruito sulla linea che è composta della metà della prima retta e della aggiunta.

Seghisi la linea retta AB per metà pel punto C, e aggiungavisi BD per diritto. Dico che il rettangolo delle AD, BD, insieme col quadrato di BC, è uguale al quadrato della CD.

Descrivasi, sulla CD il quadrato CEFD, conducasi DE, per B tirisi BHG parallela alle CE, DF, e per H tirisi KLM parallela alle AD, EF, e finalmente per A tirisi AK parallela alle CL, DM. Perchè la AC è eguale alla CB, il rettangolo AL sarà uguale al rettangolo CH [I, 36]. Ma CH è eguale ad HF [I, 43]; onde AL sarà eguale ad HF. Aggiungendo CM ad ambedue, avremo tutto il rettangolo AM che è contenuto dalle AD, DB eguale al gnomone NXO; similmente aggiungendo LG, che è eguale al quadrato di CB, otterremo il rettangolo delle AD, DB, insieme col quadrato di CB, eguale al gnomone NXO e ad LG. Ma il gnomone NXO ed LG fanno tutto il quadrato CEFD, costruito sulla CD. Laonde il rettangolo delle AD, DB insieme col quadrato di BC è eguale al quadrato di CD. Dunque se una linea retta, ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata in qualunque modo, la somma dei quadrati costruiti su tutta la linea e sopra una parte è eguale al doppio rettangolo contenuto da tutta la linea e dalla detta parte, insieme col quadrato dell’altra parte.

Sia la linea retta AB segata in qualunque modo nel punto C. Dico che la somma dei quadrati di AB, BC è uguale al doppio rettangolo contenuto dalle AB, BC, insieme col quadralo di AC.

Descrivasi sulla AB il quadrato ADEB, e costruiscasi la figura. Perchè il rettangolo AG è eguale al rettangolo GE, aggiungendo ad ambedue CF, avremo tutto il rettangolo AF uguale a tutto CE. I rettangoli AF, CE formano il gnomone KLM, ed il quadrato CF. Adunque il gnomone KLM, ed il quadrato CF fanno il doppio del rettangolo AF che è contenuto dalle AB, BC. Aggiungendo DG, che è il quadrato di AC, il gnomone KLM ed i quadrati BG, GD danno la stessa somma come il doppio rettangolo contenuto dalle AB, BC, ed il quadrato di AC. Ma il gnomone KLM ed i quadrati BG, GD fanno i quadrati di AB, BC. Laonde se una linea retta ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata in qualunque modo, il quadruplo rettangolo contenuto da tutta la linea e da una delle parli, insieme col quadrato dell’altra parte, sarà eguale al quadrato costruito sulla linea composta della detta parte e dell’intera retta data.

Sia la linea retta AB segata in qualunque modo nel punto C. Dico che il quadruplo rettangolo contenuto dalle AB, BC, insieme col quadrato di AC, è eguale al quadrato della linea composta di AB, BC.

Prolunghisi la linea retta AB in D, e sia la BD uguale alla CB, e sulla AD descrivasi il quadrato AEFD, e facciasi la figura doppia. Poichè la CB è uguale alla BD, ed è la CB uguale alla GK [I, 34] e la BD alla KN, sarà eziandio la GK uguale alla KN, e per la medesima ragione la PR è uguale alla RO; e perchè la CB è uguale alla BD, e la GK alla KN, sarà il rettangolo CK uguale al rettangolo KD, ed il rettangolo GR al rettangolo RN. Ma CK è uguale ad RN, come supplementi del parallelogrammo CO; onde eziandio KD è eguale a GR, e i quattro rettangoli DK, KC, GB, RN sono uguali fra loro, e però CO è quadruplo del rettangolo CK. Similmente perchè la CB è uguale alla BD, e la BD alla BK cioè alla CG, e la CB alla GK, cioè alla GP, sarà ancora la CG uguale alla GP. Essendo poi la PR uguale alla RO, il rettangolo AG è uguale al rettangolo MP, ed il rettangolo PL al rettangolo RF; ma MP è uguale a PL, essendo supplementi dei parallelogrammo ML: e perciò AG è uguale ad RF. Onde i quattro rettangoli AG, MP, PL, RF sono uguali fra loro, e la loro somma è quadrupla di AG. Dunque il gnomone STY è quadruplo di AK, che è il rettangolo contenuto dalle AB, BC. Aggiungendo XH, che è uguale al quadrato di AC, avremo il quadruplo rettangolo contenuto dalle AB, BC, insieme col quadrato di AC, eguale al gnomone STY ed al quadrato XH, ossia al quadrato AEFD costruito sulla AD. Laonde se una linea retta, ecc. c. d. d.

Se una linea retta sia segata in parti eguali, ed in parti disuguali, la somma dei quadrati costruiti sulle parti disuguali è doppia della somma del quadrato della metà e del quadrato della linea che è fra i due punti di divisione.

Sia la linea retta AB segata in parti uguali nel punto C, ed in parti disuguali in D. Dico che la somma dei quadrati di AD, DB è doppia della somma dei quadrati di AC, CD.

Tirisi dal punto C la CE ad angoli retti sopra la AB, e pongasi uguale alle AC, CB, e si conducano EA, EB. Poi per D tirisi la DF parallela alla CE, e per FA tirisi la FG parallela alla AB, e conducasi AF. Poiché la AC è uguale alla CE, sarà l’angolo EAC uguale all’angolo AEC [I, 5]; ed essendo retto l’angolo C, gli angoli AEC, EAC faranno insieme un retto [I, 32]. Ma sono uguali fra loro, adunque l’uno e l’altro di essi è la metà d’un retto. E per la medesima ragione l’uno e l’altro degli angoli CEB, EBC è la metà d’un retto, onde tutto l’angolo AEB è retto. E perchè l’angolo GEF è la metà d’un retto, ed è retto EGF, essendo eguale all’interno opposto ECB [I, 29], sarà eziandio il terzo angolo EFG la metà d’un retto [I, 32]. Onde l’angolo GEF è eguale all’angolo EFG, e però il lato EG è eguale al lato GF [I, 6]. Similmente; perchè l’angolo B è la metà d’un retto, ed FDB è retto, perchè uguale all’interno opposto ECB, sarà BFD la metà d’un retto. Dunque l’angolo B è uguale all’angolo DFB, ed il lato DF al lato DB. E perchè la AC è uguale alla CE, sarà anche il quadrato di AC uguale al quadrato di CE. Ma la somma dei quadrati di AC, CE è eguale al quadrato di EA, per essere l’angolo ACE retto [I, 47]. Adunque il quadrato di EA è doppio del quadrato di AC. Similmente il quadralo di EF è doppio del quadrato di GF, ossia del quadrato di CD. Onde la somma dei quadrati di AE, EF è doppia della somma dei quadrati di AC, CD. Ma la somma dei quadrati di AE, EF è eguale al quadrato di AF, perciocchè l’angolo AEF è retto: adunque il quadrato di AF è doppio della somma dei quadrati di AC, CD. Poi il quadrato di AF è eguale alla somma dei quadrati dì AD, DF, ossia AD, DB, essendo L’angolo D retto; dunque la somma dei quadrati di AD, DB è doppia di quella dei quadrati di AC, CD. Laonde se una linea retta, ecc. c. d. d.

Se ad una linea retta segata per mezzo si aggiunga un’altra linea per diritto, il quadrato di tutta la linea composta e il quadrato della aggiunta fanno insieme il doppio del quadrato della metà della linea data del quadrato costruito sulla linea che è composta di detta metà e della aggiunta.

Sia la linea retta AB segata per mezzo nel punto C, ed aggiungasi ad essa per diritto la linea BD. Dico che la somma dei quadrati di AD, DB è doppia della somma dei quadrati di AC, CD.

Tirisi dal punto C la CE ad angoli retti sopra la AB, e pongasi uguale alle AC, CB; e conducansi AE, EB. Poi per E tirisi la EF parallela alla AD, e per D tirisi la DF parallela alla CE. Poiché sopra le parallele EC, cadeva linea retta EF, gli angoli CEF, EFD presi insieme fanno due retti. Dunque la somma degli angoli FEB, EFD è minore di due retti; e però prolungandosi le EB, FD concorreranno dalla parte BD [post. 5]. Prolunghisi e concorrano nel punto G, e tirisi AG. Perchè la AC è eguale alla CE, eziandio l’angolo AEC sarà uguale all’angolo EAC; ma l’angolo C è retto, onde l’uno e l’altro di essi EAC, AEC sarà la metà d’un retto [I, 32]. E per la medesima ragione sarà la metà d’un retto l’uno e l’altro degli angoli CEB, EBC. Adunque AEB è retto. E perchè EBC è la metà d’un retto, sarà anche la metà d’un retto DBG, opposto al vertice [I, 15]. Ma BDG altresì è retto, per essere uguale all’alterno DCE [I, 29], dunque DGB è la metà d’un retto, e però è uguale a DBG: onde il lato BD è uguale al lato DG. Similmente perchè EGF è la metà d’un retto, ed è retto l’angolo F, essendo uguale all’angolo opposto C, sarà FEG la metà d’un retto ed uguale ad EGF; onde eziandio il lato GF è uguale al lato EF. Essendo dunque la EG uguale alla CA, il quadrato di EC sarà uguale al quadrato di CA; ma la somma dei quadrati di EC, CA è eguale al quadrato di EA; dunque il quadrato di EA è doppio del quadrato di AC. Similmente il quadrato di EG è doppio del quadrato di EF, ossia del quadrato di CD. Onde la somma dei quadrati di AE, EG è doppia di quella dei quadrati di AC, CD. Ma la somma dei quadrati di AE, EG è eguale al quadrato di AG, e il quadrato di AG è eguale alla somma dei quadrati di AD, DG, ossia di AD, DB, per la qual cosa la somma dei quadrati di AD, DB è doppia della somma dei quadrati di AC, CD. Laonde se ad una linea retta, ecc. c. d. d.

Segare una linea retta data talmente, che il rettangolo contenuto da tutta la linea e da una delle parti sia eguale al quadrato dell’altra parte.

Sia la retta data AB; bisogna segarla in tal modo che il rettangolo contenuto da tutta la linea, e da una parte sia eguale al quadrato dell’altra parte. Descrivasi sulla AB il quadrato ABCD, e seghisi AC per metà nel punto E: e tirisi BE. Poi prolungala CA in F pongasi EF uguale a BE: e sulla AF descrivasi il quadrato FGHA e GH prolunghisi in K. Dico che la AB è segata in H talmente, che il rettangolo delle AB, BH è eguale al quadrato di AH.

Perciocchè essendo la linea AC segata per mezzo in E, se vi si aggiunge AF per diritto, il rettangolo delle CF, FA insieme col quadrato di AE sarà eguale al quadrato di EF [II, 6], ossia al quadrato di EB, ossia alla somma dei quadrati di BA, AE [I, 47]. Sottraggasi il comune quadrato di AE; rimarrà il rettangolo FK eguale al quadrato AD. Sottraggasi AK ad ambedue; rimarrà il quadrato FH eguale al rimanente rettangolo HD. Laonde il rettangolo delle AB, BH è eguale al quadrato di AH: e però la data retta AB è segata in H nel modo richiesto.

In un triangolo ottusangolo il quadrato del lato opposto all’angolo ottuso supera di tanto la somma dei quadrati degli altri due lati quanto è il doppio rettangolo contenuto da uno de’ lati che sono dintorno all’angolo ottuso, e dalla porzione del prolungamento di esso lato che è compresa fra il vertice dell’angolo ottuso e la perpendicolare abbassata dal vertice opposto.

Sia il triangolo ottusangolo AEC, che abbia l’angolo ottuso EAC, e dal punto E tirisi alla CA prolungata la perpendicolare ED. Dico che il quadrato di CE è tanto maggiore della somma dei quadrati di EA, AC, quanto è il doppio rettangolo delle CA, AD.

Perciocchè essendo la linea CD segata in qualunque modo nel punto A, [II, 4] sarà il quadrato di CD eguale alla somma dei quadrati di CA, AD, e del doppio rettangolo che è contenuto dalle CA, AD. Aggiungendo il quadrato di DE; abbiamo che i quadrati di CD, DE fanno una somma uguale ai quadrati di CA, AD, DE, ed al doppio rettangolo che è contenuto dalle CA, AD. Ma la somma dei quadrati di CD, DE è eguale al quadrato di CE, perciocchè l’angolo D è retto [I, 47], e la somma dei quadrati di AD, DE.è eguale al quadrato di AE. Onde il quadrato di CE è eguale ai quadrati di CA, AE ed al doppio rettangolo delle CA, AD. Laonde in un triangolo ottusangolo il quadrato del lato, ecc. c. d. d.

In un triangolo qualunque il quadrato del lato opposto ad un angolo acuto è superato dalla somma dei quadrati degli altri due lati di tanto quanto è il doppio rettangolo contenuto da uno dei lati che sono dintorno all’angolo acuto e dalla porzione di esso lato o del suo prolungamento che è compresa fra il vertice dell’angolo acuto e la perpendicolare abbassala dal vertice opposto.

Sia il triangolo ABC che abbia l’angolo B acuto, e dal punto A alla BC tirisi la perpendicolare AD. Dico che il quadrato di AC è tanto minore della somma dei quadrati di CB, BA, quanto è il doppio rettangolo contenuto dalle CB, BD.

Perchè essendo la linea retta CB segata in qualunque modo nel punto D, la somma dei quadrati CB, BD è eguale [II, 7] al doppio rettangolo delle CB, BD, insieme col quadrato di DC. Aggiungendo il quadrato di AD, avremo la somma dei quadrali di CB, BD, DA eguale al doppio rettangolo delle CB, BD insieme coi quadrati di AD, DC. Ma invece dei quadrati di BD, DA si può porre [I, 47] il quadrato di AB, perciocchè l’angolo D è retto, ed invece dei quadrati di AD, DC si può porre il quadrato di AC. Onde i quadrati di CB, BA fanno una somma uguale al quadrato AC, ed al doppio rettangolo contenuto dalle CB, BD. Dunque in un triangolo qualunque il quadrato del lato, ecc. c. d. d.

Costruire un quadrato eguale ad un dato poligono.

Sia A il dato poligono, bisogna construire un quadrato eguale al poligono A. Costruiscasi [I, 45] il parallelogrammo rettangolo BCDE, eguale al poligono A. Onde se BE è uguale ad ED, sarà fatto quello che si proponeva perciocchè si sarà costruito il quadrato BD eguale al poligono A. Ma se BE non è uguale ad ED, una di esse sarà maggiore. Sia maggiore BE, e prolunghisi in F, e pongasi EF uguale ad ED; poi divisa FB per metà nel punto G, dal centro G coll’intervallo GB o GF descrivasi il mezzo cerchio BHF, prolunghisi DE in H, e tirisi GH. Perchè la linea retta BF è divisa in parti uguali nel punto G, ed in parti disuguali nel punto E, sarà [II, 5] il rettangolo delle BE, EF insieme col quadrato di EG eguale al quadrato di GF, ossia al quadrato di GH. Ma il quadrato di GH è eguale alla somma dei quadrati di HE e di EG [I, 47]; dunque il rettangolo delle BE, EF insieme col quadrato di EG è eguale ai quadrati di HE, EG. Sottraggasi il quadrato di EG; rimarrà il rettangolo delle BE, EF ossia BD eguale al quadrato di EH, e però il poligono A sarà eguale al quadrato di EH. Laonde, ecc.

Elementi d’Euclide, 6