Trovare il centro d’un dato cerchio.

Sia ABC il cerchio dato, di cui bisogna trovare il centro. Tirisi in esso una corda AB, comunque si voglia, e seghisi per mezzo nel punto D [I, 10], poi dal punto D tirata la DC ad angoli retti sopra la AB [I, 11], prolunghisi fino in E [post. 2], e seghisi la CE per mezzo nel punto F. Dico il punto F essere centro del cerchio ABC.

Perciocchè se il centro non è F, sia s’egli è possibile, un altro punto G, e conducansi GA, GD, GB. Poiché AD è uguale alla DB, ed è comune la DG, saranno le due AD, DG uguali alle due GD, DB, l’una all’altra, e la base GA è uguale alle base GB, partendosi dal centro G [I, def. 15]. Dunque l’angolo ADG è uguale all’angolo GDB [I, 8]. Ma quando una linea retta stando sopra un’altra fa gli angoli conseguenti fra loro uguali; questi sono amendue retti [1, def. 10], e perciò l’angolo GDB è retto. Ma è retto ancora FDB. Adunque l’angolo FDB sarebbe uguale all’angolo GDB [post. 4], cioè il maggiore al minore, che è impossibile. Onde il punto G non è centro del cerchio ABC. Dimostreremmo parimente non essere altro punto fuori che F. Adunque F è il centro del cerchio ABC; che bisognava trovare.

Da questo si comprende chiaramente, che se nel cerchio una linea retta sega una corda per mezzo e ad angoli retti, il centro del cerchio è nella retta segante.

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Se nella circonferenza del cerchio si piglino due punti, qualsivogliano, la linea retta che li congiunge sarà tutta dentro al cerchio.

Sia il cerchio ABC, e nella circonferenza di esso pigliasi due punti quali si vogliano A, B. Dico che la linea retta tirata dal punto A al punto B cade dentro al cerchio.

Perciocchè s’egli è possibile cada di fuori, come AEB, e preso il centro D del cerchio ABC [III, 1], conducansi DA, DB: e prolunghisi DF in E. Essendo la DA uguale alla DB, sarà anche l’angolo DAE uguale all’angolo DBE [I, 5]; e perchè è prolungato un lato del triangolo DAE, cioè AEB, sarà l’angolo DEB maggiore dell’angolo DAE [I, 46]. Ma l’angolo DAE è uguale all’angolo DBE, onde l’angolo DEB è maggiore dell’angolo DBE. All’angolo maggiore è opposto il maggior lato [I, 19], adunque la DB è maggiore della DE: ma la DB è uguale alla DF, e perciò la DF sarebbe maggiore della DE; cioè la minore della maggiore, il che è impossibile. Onde la linea retta tirata dal punto A al punto B non cadrà fuori del cerchio. Dimostreremmo parimente che nè anche cade in essa circonferenza, onde è necessario che sia tutta di dentro. Dunque se nella circonferenza, ecc. c. d. d.

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Se una linea retta tirata nel cerchio per il centro seghi per mezzo una corda che non passa per il centro, la segherà ad angoli retti e se la sega ad angoli retti, la segherà per mezzo.

Sia il cerchio ABC, e la linea retta CD, tirata in esso per il centro, seghi per mezzo in F la corda AB che non passa per il centro. Dico che la sega ad angoli retti.

Piglisi il centro E del cerchio ABC [III, 1], e conducansi EA, EB. Perchè la AF è uguale alla FB, la FE b comune,e la base EA è uguale alla base EB, l’angolo AFE sarà uguale all’angolo BFE [I, 8]. Dunque [I, def. 10] ciascuno degli angoli AFC, BFE è retto, e perciò la linea retta CD è perpendicolare alla retta AB.

Ora la CD seghi la AB ad angoli retti. Dico che eziandio la sega per mezzo, cioè che la AF è uguale alla FB.

Fatte le medesime costruzioni, perchè la EA raggio del cerchio è uguale alla EB [I, def. 15], sarà anche, l’angolo EAF uguale all’angolo EBF [I, 5], e l’angolo AFE retto è uguale al retto BFE [post. 4]. Dunque i due triangoli EAF, EBF hanno due angoli uguali a due angoli, e comune il lato EF che è opposto ad uno degli angoli uguali; e perciò avranno gli altri lati uguali agli altri lati [I, 26], e la AF sarà uguale alla FB. Adunque se una linea retta tirata nel cerchio, ecc. c. d. d.

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Se due linee rette nel cerchio non passanti per il centro si seghino fra loro, non si segheranno mai entrambe per metà.

Sia il cerchio AB, CD, e seghinsi in esso due linee rette che non passano per il centro, cioè AC, BD, nel punto E. Dico che non si segano entrambe per metà.

Perciocchè, se sia possibile, seghinsi per mezzo di maniera che la AE sia uguale alla EC, e la BE alla ED. Piglisi poi il centro F del cerchio ABDC [III, 1], e tirisi EF. Poiché la linea retta FE tirata per il centro sega per mezzo una corda AC che non passa per il centro, la segherà ad angoli retti [III, 3]; onde l’angolo FEA sarà retto. Similmente perchè la linea retta FE sega per mezzo una corda BD che non passa per il centro, la segherà ad angoli retti, e perciò l’angolo FEB sarà retto. Sarebbe dunque l’angolo FEA uguale all’angolo FEBr cioè il minore al maggiore, che è impossibile. Dunque le AC, BD non si segano entrambe per mezzo: onde se nel cerchio due linee rette, ecc. c. d. d.

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Se due cerchi si seghino fra loro, non avranno il medesimo centro.

Due cerchi ABC, CDG seghinsi fra loro ne’ punti B, C. Dico che non hanno il medesimo centro.

Sia E, se esser può, il centro comune: conducasi EC,e tirisi EFG in qualsivoglia modo. Poiché E è centro del cerchio ABC, la CC sarà uguale alla EF. Oltre a ciò, perchè E è centro del cerchio CDG, sarà la CE uguale alla EG, adunque la EF sarebbe uguale alla EG, cioè la minore alla maggiore, che non può essere; e perciò il punto E non è centro dei cerchi ABC, CDG. Laonde se due cerchi si seghino fra loro, ecc. c. d. d.

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Se due cerchi siano tangenti fra loro internamente, non avranno il medesimo centro.

Due cerchi ABC, CDE siano tangenti internamente nel punto C. Dico che essi non hanno il medesimo centro.

Sia F, se esser può, il centro comune; si unisca F con C, e tirisi FEB in qualunque modo. Perchè F è centro del cerchio ABC, la CF sarà uguale alla FB, ed essendo F centro del cerchio CDE, la CF sarà uguale alla FE. Adunque la FE sarebbe uguale alla FB, cioè la minore alla maggiore, che non può essere. Laonde il punto F non è centro dei cerchi ABC, CDE. Dunque se due cerchi siano tangenti fra loro, ecc. c. d. d.

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Se nel diametro del cerchio si pigli un punto che non sia centro del cerchio, e da esso si tirino alla circonferenza alcune linee rette, la massima sarà quella nella quale è il centro; e la minima sarà la parte rimanente del diametro. Delle altre, la più vicina a quella che passa per il centro sempre è maggiore della più lontana. E solamente due rette uguali cadranno dal medesimo punto sulla circonferenza dall’una e l’altra parte della minima.

Sia il cerchio ABCD, il cui diametro è AD: ed. in essa AD piglisi un punto F, che non sia il centro: e sia il centro del cerchio E: e dal punto F si tirino alcune linee rette alla circonferenza ABDG. E siano FB, FC, FG. Dico la FA B essere maggiore di tutte, e la FD minore: e delle altre, la FB maggiore della FC, e la FC maggiore della FG.

Conducasi BE, CE, GE. Perchè la somma di due lati di ciascun triangolo è maggiore del lato rimanente [I, 20], sarà la somma delle BE, EF maggiore della BF. Ma la AE è uguale alla EB; adunque le BE, EF danno una somma uguale alla AF, e perciò la AF è maggiore della FB. Oltre a ciò, perchè la BE è uguale alla EC, la FE comune, e l’angolo BEF è maggiore déll’angolo CEF, sarà la base BF maggiore della base EC [1,24].

Per la medesima ragione ancor la CF è maggiore delibi FG; E perchè la somma delle GF, FE è maggiore della EG, e la GE è uguale alla ED, sarà la somma delle GF, FE maggiore della ED. Sottraggasi la comune EF; allora la rimanente GF è maggiore della rimanente FD. Onde la maggiore di tutte è FA, e la minore FD; e la BF è maggiore della FC, e la CF maggiore della FC.

Dico che dal punto F due sole linee rette eguali si possono condurre alla circonferenza ABÇD dall’una e l’altra parte della minore FD. Costruiscasi nella linea EF, e nel punto dato in essa E l’angolo FEH uguale all’angolo GEF [1, 23], e congiungasi F con H. Poiché la GE è uguale alla EH, e la EF è comune, e l’angolo GEF, uguale all’angolo HEF, la base FG sarà uguale alla base FH [I, 4]. Dico che da F nel cerchio non si può condurre alla circonferenza altra retta uguale alla FG; sia, se esser può una tal retta FK. Essendo la FK uguale alla FG, e la FH uguale alla FG, sarà eziandio la FK uguale alla FH, cioè la più vicina a quella che passa per il centro sarebbe uguale alla più lontana, che non può essere. Laonde dal punto F non si può tirare che una sola linea retta alla circonferenza, uguale alla GF; dunque se nel diametro del cerchio, ecc. c. d. d.

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Se fuori del cerchio si pigli un, punto, e da quello si tirino più linee rette alla circonferenza, una delle quali passi per il centro, e l’altre in qualsivoglia modo; di quelle che cadono sopra la circonferenza concava la massima sarà quella che passa per il centro, e dell’altre la più vicina a quella che passa per il centro sarà sempre maggiore della più lontana. Ma di quelle che cadono sopra la circonferenza convessa, la minima sarà quella che continuata passa pel centro, e delle altre la più vicina alla minima sarà minore della più lontana: e due sole rette uguali potranno tirarsi dal punto sulla circonferenza, dall’una e l’altra parte della minima.

Sia il cerchio ABC, e piglisi fuori del cerchio un punto D, e da quello tirinsi nel cerchio alcune linee rette DA, DE, DF, DC, e sia la 'DA quella che passa per il centro. Dico che di quelle che cadono nella circonferenza concava AEFÇ, la DA che passa per il centro è la massima: e la DE è maggiore della DF, e la DF maggiore della DÙ. È di quelle che cadono nella circonferenza convessa HLKC la minima è la DG che prolungata passa pel centro, e la più vicina alla minima DG è sempre minore della più lontana, cioè la DK minore della DL, e la DL minore della DH.

In fatti trovisi il centro del cerchio ABC [III, 1], che sia M: e conducansi AIE, MF, MC, MK, ML,MU. Poiché la AM è uguale alla ME, aggiungendo ad ambedue la MD, avremo la AD uguale alla somma delle EM, AID. Ma questa somma è maggiore della ED [I, 20]: adunque eziandio la AD è maggiore della ED. Oltre a ciò, perché la AIE è uguale alla MF, saranno le EM, MD uguali alle MF, MD, e l’angolo EMD è maggiore dell’angolo FMD; onde la base ED sarà maggiore della base FD [I, 24]. Dimostreremmo similmente la FD essere maggiore della CD. Adunque la maggiore di tutte è la DA, e la DE è maggiore della DF, e la DF maggiore della DC.

Poi essendo la somma delle MK, KD maggiore della MB [I, 20] e la MG uguale alla MK, sarà la rimanente KD maggiore della rimanente GD. Laonde la GD è minore della BK, e perciò la GB è la minima.

E perchè dai termini di un lato del triangolo MLB, cioè di MB, si sono tirate dentro due linee rette MK, KB, sarà la somma delle MK, KB minore della somma delle ML, LB [1, 21]; delle quali la MK è uguale alla ML; dunque la rimanente BK è minore della rimanente BL. Dimostreremmo parimente la BL esser minore della BH, e perciò la BK è minore della BL, e la BL minore della DH.

Dico eziandio che due sole rette uguali si possono tirare dal punto B alla circonferenza, dall’una e l’altra parte della minore. Costruiscasi nella linea retta MB, e nel punto M dato in essa, l’angolo BMB uguale all’angolo KMB, e congiungasi D con B. Perchè la MK è uguale alla MB, la MB comune, e l’angolo KMB uguale all’angolo BMB, sarà la base BK uguale alla base BB. Dico che tial punto B niun’altra retta si può tirare alla circonferenza uguale alla BB. Tirisi, se esser può, la BN. Perchè la BK è uguale alla BN, ed è uguale alla BB, sarà la BB uguale alla BN, cioè la più vicina alla minima sarebbe uguale alla più lontana, che si è dimostrato impossibile. Laonde dal punto B non si potranno abbassare alla circonferenza ABG più di due linee rette uguali, dall’una e l’altra parte della minima GB. Dunque se fuori del cerchio si pigli un punto, ecc. c. d. d.

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Se da un punto preso dentro al cerchio si possono condurre alla circonferenza più di due nee rette uguali, quel punto sarà il centro del cerchio.

Sia il cerchio ABC, e piglisi dentro di esso il punto D, dal quale siano tirate nel cerchio più di due linee rette uguali, come DA, DB, DC. Dico che il punto D è centro del cerchio ABC.

Tirinsi AB, BC, e seghinsi per mezzo nei punti E, F [I, 10]; e condotte le ED, DF, prolunghisi nei punti G, K, H, L.

Poiché la AE è uguale alla EB, la ED comune, e la base DA è uguale alla base DB, l’angolo AED sarà uguale all’angolo BED [I, 8]. E perciò amendue gli angoli AED, BED sono retti, e la GK segando per mezzo la AB, la sega ancor ad angoli retti [III, 3]. E perchè se nel cerchio una linea retta sega per mezzo una corda e ad angoli retti, il centro del cerchio è nella linea segante [III, 1 cor.], sarà nella GK il centro del cerchio ABC, e per la medesima ragione il centro del cerchio ABC è nella UL. Le linee rette GK, HL non hanno alcun punto comune fuori che D. Adunque D è il centro del cerchio ABC; laonde se da un punto preso dentro al cerchio, ecc. c. d. d.

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Due cerchi non si segano fra loro in più di due punti.

Il cerchio ABC seghi il cerchio DEF in più di due punti, cioè in B, G, F, H: si trovi il centro del chio ABC, che sia R [III, 1]: e conducansi RB, RG, RF.

Perchè dentro al cerchio DEF si è preso un punto R, dal quale arrivano alla circonferenza più di due linee rette uguali RB, RF, RG, il punto R sarà centro del cerchio DEF [in, 9]. Ma R è centro del cerchio ABC; sarà dunque il medesimo punto R centro di due cerchi che si segano, il che non può essere [III, 5]. Laonde due cerchi non si segano, ecc. c. d. d.

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Se due cerchi sono tangenti internamente, la linea retta che congiunge i loro centri prolungata passerà pel punto di contatto.

Due cerchi ABC, ADE siano tangenti internamente nel punto A; trovisi il centro del cerchio ABC, che sia F [III, 4], ed il centro del cerchio ADE, che sia G. Dico che la linea retta tirata dal punto Fai punto G prolungata passa pel punto A.

Se è possibile, la retta FG non passi per A, ma seghi le circonferenze in D, H, e congiungasi A con F e con G.

Perchè la somma delle AG, GF è maggiore della FA, cioè della FH, sottraendo la comune FG, rimarrà AG maggiore della GH. Ma la AG è uguale alla GD onde la GD sarebbe maggiore della GH, cioè la minore della maggiore, che è impossibile. Adunque se due cerchi siano tangenti internamente, ecc. c. d. d.

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Se due cerchi siano tangenti esternamente, la linea retta che congiunge i loro* centri passerà per il punto di contatto.

Due cerchi ABC, ADE siano tangenti esternamente nel punto A; e trovinsi il centro del cerchio ABCche sia F, ed il centro del cerchio ADE cioè G [HI, 1]. Dico che la linea retta tirata dal punto B ai punto G passa per A.

Non passi per A, ma se è possibile, incontri le circonferenze in C, D: e conducansi FA, AG.

Poiché F è centro del cerchio ABC, sarà la AF uguale alla FG; e perchè G è centro del cerchio ADE, la AG sarà uguale alla GD. Adunque le FA, AG sono uguali alle FC, DG; e tutta la FG sarebbe maggiore della somma delle FA, AG; ma ciò è impossibile [I, 20]; adunque se due cerchi siano tangenti esternamente, ecc. c. d. d.

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Un cerchio non può essere tangente nè internamente nè esternamente a un altro cerchio in più di un punto.

Il cerchiò ABDC, se è possibile, sia tangente al cerchio EBFD prima internamente in più di un punto, cioè in B, D: e trovisi il centro del cerchio ABDC [III, 1], che sia G, ed il centro del cerchio EBFD, cioè H.

Là linea retta tirata dal punto G ad H passerà pei punti B, D [III, 11], e perchè G è centro del cerchio ABDC, sarà la BG uguale alla QD, e quindi la BG maggiore della HD e la BH molto maggiore della HD. Oltre a questo, perchè H è centro del cerchio EBFD, sarebbe la BH uguale alla HD: il che è impossibile. Dunque un cerchio non può essere tangente internamente ad un altro cerchio in più di un punto. Dico che nè anche può essergli tangente esternamente; perciocché se è possibile, il cerchio ACK sia tangente esternamente al cerchio ABDC in più di un punto, cioè in A, C, tirisi AC. Poiché nella circonferenza dell’uno e l’altro cerchio ABDC, ACK si sono presi due punti quali si vogliono A, C, la linea retta che gli congiunge cadrebbe dentro all’uno e l’altro [III, 2]. Ma invece cade dentro al cerchio ABDC, e fuori del cerchio ACK; adunque un cerchio non può essere tangente ad un altro cerchio, ecc. c. d. d.

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Nel cerchio le corde uguali sono ugualmente distanti dal centro, e quelle che sono ugualmente distanti dal centro sono fra loro uguali.

Sia il cerchio ABDC, ed in esso le corde uguali AB, CD. Dico ch’esse sono ugualmente distanti dal centro.

Sia E il centro del cerchio ABCD, e da esso tirinsi EF, EG perpendicolari alle AB, CD, e tirinsi le AE, EC.

Poiché la linea retta EF tirata per il centro sega la corda AB ad angoli retti, la segherà ancora per mezzo [III, 3]. Onde la AF è uguale alla FB, e la AB è doppia della AF: e per la medesima ragione la CD è doppia della CG. La AB è uguale alla CD; adunque la AF è uguale alla CG, ed essendo la AE uguale alla EC, il quadrato della AE sarà uguale al quadrato della EC. Ma la somma dei quadrati delle AF, FE è uguale al quadrato della AE [I, 47], perchè angolo F è rettole la somma dei quadrati delle EC, GC è uguale al quadrato di EC, essendo l’angolo G retto; adunque la somma dei quadrati di AF, FE è uguale alla somma dei quadrati di CC, GE. Di questi il quadrato della AF è uguale al quadrato della CG, perciocchè la AF è uguale alla CG; adunque il rimanente quadrato della FE è uguale al rimanente della EG; e però la FE è uguale alla EG. Ma nel cerchio si dicono le linee rette essere ugualmente distanti dal centro, quando le perpendicolari tirate dal centro sopra quelle sono uguali [III, def. 4]. Adunque le AB, CD sono ugualmente distanti dal centro.

Ora le AB, CD siano ugualmente distanti dal centro, cioè sia la FE uguale alla EG. Dico che la AB è uguale alla CD.

Avendo fatto le medesime costruzioni, dimostreremmo eziandio che la AB è doppia della AF, e la CD doppia della CG. E perchè la AE è uguale alla EC, sarà ancora il quadrato della AE uguale al quadrato della EC; ma la somma dei quadrati delle EF, FA è uguale al quadrato della AE [I, 47], e la somma dei quadrati delle EG, GC è uguale al quadralo della EC: adunque la somma dei quadrati delle EF, FA è uguale alla somma dei quadrati di EG, GC. Di questi il quadrato della EG è uguale al quadrato della EF, perchè la EG è uguale alla EF; adunque il rimanente quadralo della AF è uguale al rimanente quadrato della CG; e però la AF è uguale alla CG. Ma la AB è doppia della AF, e la CD doppia della CG; onde la AB sarà uguale alla CD. Dunque nel cerchio le corde uguali sono, ecc. c. d. d.,

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Nel cerchio la corda massima è il diametro, e delle altre corde la più vicina al diametro è maggiore della più lontana.

Sia il cerchio ABCD, il cui diametro è AD, ed il centro E; e la corda più vicina al diametro AD sia la BC, e la più lontana FG. Dico che la AD è la massima, e la BC è maggiore della FG.

Tirinsi dal centro le EH, EK perpendicolari alle BC, FG [I, 12]. Poichè la BC è più vicina a quella che passa per il centro, e la FG più lontana, sarà la EK maggiore della EH [III, def. 5]. Prendasi la EL uguale alla EH, e per L tirata la LSI ad angoli retti sopra la EK, prolunghisi, in N, e tirinsi EM, EN, EF, EG. Perchè la EH è uguale alla EL, sarà la BC uguale alla MN [III, 14]: e perchè la A E è uguale ad EM, e la DE alla EN, sarà la AD uguale alla somma delle ME, EN. Ma questa somma è maggiore della MN [I, 20]; adunque la AD è maggiore della MN: poi la MN è uguale alla BC; onde la AD è maggiore della BC ed essendo le due EM, EN uguali alle due FE, EG, e l’angolo MEN maggiore dell’angolo FEG, sarà la base MN maggiore della base FG [I, 24]. Ma si è dimostrata la MN uguale alla BC, e però la BC è maggiore della FG: onde nel cerchio la corda massima è il diametro, ecc. c. d. d.

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Quella linea retta che è perpendicolare al diametro alla sua estremità, cade fuori del cerchio, e nello spazio che è fra la linea retta e la circonferenza non cade alcun’altra retta.

Sia il cerchio ABH, il cui centro sia D e il diametro AB. Dico che la retta BE tirata dal punto B ad angoli retti sopra la AB giace tutta fuori del cerchio.

Sia C un punto qualsivoglia della BE, e congiungasi D con C. Sarà CD che è opposta all’angolo retto DBC maggiore di DB che si oppone all’angolo acuto DCB [I, 19]. Ma DB è uguale a DK; dunque DC è maggiore di DK, e però il punto C è fuori del cerchio.

Dico che nello spazio che è fra la linea retta BE e la circonferenza AHB non cade altra linea retta.

Infatti, vi cada, se sia possibile, la FB: e dal punto D tirisi la DG perpendicolare alla FB. Poichè l’angolo BGD è retto, e DBG è minore del retto, sarà la BD maggiore della DG [I, 19]. Ma la DB è uguale alla DH; adunque la DH sarebbe maggiore della DG, cioè la minore della maggiore, che è impossibile. Dunque quella linea retta, ecc. c. d. d.

Di qui è manifesto che la linea retta, condotta perpendicolare alla estremità del diametro, è tangente al cerchio, e tocca il cerchio in un punto solo, perciocchè quella che passa per due punti cade di dentro, come già si è dimostrato [III, 2].

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Da un punto dato tirare una linea retta tangente ad un dato cerchio.

Sia A il punto dato, e BCD il dato cerchio; bisogna dal punto A tirare una linea retta tangente al cerchio BCD.

Piglisi il centro del cerchio [III, 1], e condotta la AE, dal centro E coll’intervallo E A, descrivasi il cerchio AFG, e dal punto D tirisi la DF ad angoli retti sopra la E A [I, 11], e conducansi EBF, AB. Dico che la AB è tangente al cerchio BCD.

Perciocchè essendo E centro de’ cerchi BCD, AFG, sarà la EA uguale alla EF, e la ED uguale alla EB, onde le due AE, EB sono uguali alle due FE, ED, e comprendono l’angolo E comune; adunque gli altri angoli del triangolo DEF sono uguali agli altri angoli del triangolo EBA [I, A] e perciò l’angolo EBA è uguale all’angolo EDF; ina l’angolo EDF è retto, onde anco EBA è retto e siccome la EB è semidiametro, e la retta perpendicolare ad, un diametro alla sua estremità è tangente al cerchio [111, 16 cor.]; così dal punto dato A si è tirata la linea retta AB tangente al cerchio BCD, che bisognava fare.

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Se una linea retta è tangente al cerchio, il raggio tirato al punto di contatto è ad essa perpendicolare.

La linea retta DE sia tangente al cerchio ABC nel punto C, e preso il centro F del cerchio ABC, tirisi la FC. Dico che la FC è perpendicolare alla DE.

Se non è, tirisi dal punto F la FG perpendicolare alla DE [I, 12]. Perchè l’angolo FGC è retto, sarà GCF acuto, e perciò l’angolo FGC sarà maggiore dell’angolo FCG ma il maggior lato è sottoposto al maggiore angolo [I, 19]: adunque la FC sarebbe maggiore della FG; ma la FC è uguale alla FB, onde la FB sarebbe maggiore della FG, cioè la minore della maggiore, che è impossibile: la FG dunque non è perpendicolare alla DE. Dimostreremmo parimente che non lo è altra linea che non sia la FC: laonde la FC è perpendicolare alla DE; dunque se una linea retta, ecc. c. d. d.

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Se una linea retta è tangente al cerchio, la perpendicolare ad essa condotta dal punto di contatto passa pel centro del cerchio.

La linea retta DE sia tangente al cerchio ABC nel punto C, e tirisi dal punto C la CA perpendicolare alla DE [I, 11]. Dico che il centro del cerchio è nella AC.

Non sia, ma se è possibile, sia F il centro e conducasi CF. Poiché la linea rettà DE è tangente al cerchio ABC, e la FC è tirata dal centro al punto di contatto, sarà la FC. perpendicolare alla DE [III, 18]. Adunque l’angolo FCE sarebbe retto; ma l’angolo ACE è parimente retto; onde l’angolo FCE sarebbe uguale all’angolo ACE, cioè il minore al maggiore, che è impossibile. Adunque F non è il centro del cerchio ABC. Dimostreremmo ancora che non può essere in alcun altro punto fuori della AC, onde se una linea retta, ecc. c. d. d.

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L’angolo che ha il vertice al centro del cerchio è doppio di quello che ha il vertice alla circonferenza ed insiste sul medesimo arco.

Nel cerchio ABC siano BEC e BAC due angoli, aventi l’uno il vertice al centro, l’altro alla circonferenza ed insistenti sullo stesso arco BC. Dico che l’angolo BEC è doppio dell’angolo BAC.

Tirisi la AE e prolunghisi fino in F; e perchè la E A è ‘ uguale alla EB, sarà eziandio l’angolo E AB uguale all’angolo EBA [I, 5], onde la somma degli angoli EAB, EBA è doppia dell’angolo EAB. Ma l’angolo BEF è uguale alla somma degli angoli EAB, EBA [I, 32]. Adunque l’angolo BEF è doppio dell’angolo EAB; e per la medesima ragione l’angolo FEC è doppio dell’angolo EAC: onde tutto l’angolo BEC è doppio di tutto l’angolo BAC.

Si consideri ora un altro angolo BBC, e tirata la BE prolunghisi fino in G. Dimostreremmo similmente che l’angolo GEC è doppio dell’angolo EBC, e l’angolo GEB è doppio dell’angolo EBB; onde il rimanente BEC è doppio del rimanente BBC. Adunque l’angolo che ha il vertice al centro, ecc. c. d. d.

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Gli angoli che sono nel medesimo segmento del cerchio sono fra loro uguali.

Sia il cerchio ABCDE, e siano BAD, BED due angoli nel medesimo segmento BAED. Dico che sono uguali. i06 GLI ELEMENTI D* EUCLIDE. Trovisi il contro del cerchio ABCDE, che sia F; e conducansi BF, FD. Poiché l’angolo BFD è al centro, e l’angolo BAD alla circonferenza, ed insistono sul medesimo arco BCD, l'angolo BFD sarà doppio dell’angolo BAD [III, 20]. Per la medesima ragione l’angolo BFD è doppio dell’ angolo BED; onde l’angolo BAD è uguale all’ angolo BED. Adunque gli angoli, ecc. c. d. d.

PROPOSIZIONE XXII.

TEOREMA, La somma degli angoli opposti di un quadrila- tero che abbia i suoi vertici sulla circonferenza di un cerchio è uguale a due retti.

II quadrilatero ABCD abbia i vertici sulla circonferenza del cerchio ADCB. Dico che la somma de’ suoi

angoli opposti è uguale a due retti. Conducansi AC, BD. Poiché la somma dei tre angoli d’ogni triangolo è uguale a due retti [1,32], sarà la somma dei tre angoli CAB, ABC, BCA del triangolo ABC uguale a due retti. Ma l’angolo CAB è uguale all’angolo BDC, perchè sono contenuti nel medesimo segmento BADC [111,21], e l’angolo ACB è.uguale all’angolo ADB, perchè pure contenuti nel medesimo segmento ADCB; adunque LIBRO, TERZO.

tutto l’angolo ABC è uguale alla somma degli angoli BAC, ACB. Aggiungasi l’angolo ABC a questa somma e all’ angolo ABC separatamente: sarà la somma degli angoli ABC, ABC eguale a quella degli angoli ABC, BAC, ACB, e però eguale a due retti. Dimostreremmo similmente che la somma degli angoli BAB, BCB è uguale a due retti. Adunque la somma degli angoli, ecc. c. d. d.

Sulla medesima linea retta data come corda, non si possono costruire, dalla stessa parte, due segmenti di cerchio simili e disuguali.

Costruiscansi, se però è possibile, sulla medesima linea retta AB due segmenti di cerchi ACB, ABB simili, non coincidenti, e dalla medesima parte: e tirisi A CB, e congiungasi C con B, B con B. Poiché il segmento ACB è simile al segmento ADB, e simili segmenti di cerchi sono quelli che contengono angoli uguali [III, f/ def. 11J, sarà l’angolo A CB uguale A all’angolo ABB, cioè l’esterno all’interno; che è impossibile [I, 46]. Adunque'.sulla medesima linea retta, ecc. c. d. d. I 108 - GLI ELEMENT? ü’EUCLIDE.

PROPOSIZIONE XXIV.

Simili segmenti di cerchi descritti su rette uguali sono uguali fra loro. , / • * *s ' * « . l' -- ** . /• ‘ .^ <• Siano descritti sulle linee rette uguali AB, CD simili segmenti di cerchi AEB, CFD. Dico che il segmento AEB è uguale al segmento CFD. Altrimenti, sovrapponendo 1’ un segmento all’ altro in modo che la base CD si adatti alla base ÀB, riuscirebbero sopra la stessa corda descritti due segmenti simili e disuguali, che è impossi- bile [IH, 23]. Dunque simili segmenti, ecc. c. d. d.

. < Dato un segmento di cerchio trovare il centro del cerchio al quale esso appartiene, • * * . •• • ’ % 4 •* Sia ABC il dato segmento di cerchio ; bisogna trovare il centro del cerchio a cui esso appartiene. Seghisi la A C per mezzo in D [1,10], e dal punto D tifisi la DB ad angoli retti sopra la AC [I, 11] econgiungasi^l con D.DalpunloA tirisi la AE, la quale faccia colla AB 1’ angolo BAE uguale all’an109 . Libro terzo.

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golo ABD [I, 23], e incontri la BD, prolungata se occorre, nel punto E; dico essere E il centro richiesto. Condotta EC, poiché F angolo ABE è uguale all’angolo BÂE, sarà la linea tetta BE uguale alla EA [I, 6]: e perchè la AD è uguale alla DC e la DE comune, e l’angolo ADE è uguale all’angolo CDE, l’uno e l’altror essendo retto; sarà la base AE è uguale alla base EC [1,4]. Ma si è dimostrata la AE uguale alla EB, onde la BE è uguale alla EC, e perciò le tre linee rette AE, EB, EC sono fra loro uguali. Dunque il punto E sarà il centro del cerchio al quale appartiene il segmento dato [III, 9]. Laonde dato, ecc.

a * •

Ne’ cerchi uguali gli angoli uguali, aventi i vertici a’centri o alle circonferenze, insistono sopra’ archi uguali.

Siano ABC, DEF cerchi uguali, e siano uguali in

essi gli angoli BGC, EHF ai centri, e BAC, EDF alle circonferenze. Dico che l’arco BRC è uguale all’arco ELF. Conducansi BC, EF: e perchè j cerchi ABC, DEF sono uguali, saranno anche i loro raggi uguali [III, def. 1]. Adunque le due BG, GC sono uguali. alle due EH, HF, e l’angolo G uguale all’angolo H; onde la base BC è uguale alla base EF [I, 4]. Oltre a ciò perchè Elminti d’Euclidi. 8 HO l’angolo A è uguale all’angolo D, i segmenti BAC, EDF saranno simili, ed essendo descritti sulle rette uguali BC, EF, saranno uguali fra loro [III, 24]. Adunque il segmento BAC è uguale al segmento EDF: ma tutto il cerchio ABC è uguale a tutto DEF; onde il’rimanente segmento sarà uguale al rimanente ELF, e l’arco BRC eguale all’arco ELF. Adunque ne’ cerchi uguali, ecc. c. d. d. . • - • * . " ’ • t Ne’ cerchi uguali sono uguali gli angoli a’ centri, o alle circonferenze, che insistono sopra archi Uguali. •’ Ne’cerchi uguali ABC, DEF, e sugli archi uguali BC, EF, insistano gli angoli ai centri BGÇ, EHF, e gli angoli alle circonferenze BAC, EDF. Dico che l’angolo BGC è uguale 15 all’angolo EHF, e l’angolo BAC Ma gli angoli al centro uguali insistono sopra archi uguali, adunque l’arco BK sarebbe uguale all’arco EF; ma 11 arco EF è ugpale all’arco BC, onde BK sarebbe uguale a BC, cioè il minore al mag-1giore, che è impossibile. Adunque T’angolo BGC non è

disuguale all’angolo EHF; e perciò è uguale. L’an

Perciocché se I* angolo BGC non è uguale all’angolo EHF, uno di essi sarà maggiore. Sia maggiore BGC, e costruiscasi l’angolo jBGZTuguale all’angolo EHF[ 1,23]. all’angolo EDF.

da (9

LIBRO TERZO. IH golo il è la metà dell’angolo BGC [III, 20], e l’angodo D la metà dell’angolo EHF: onde l’angolo A è uguale all’angolo D. Adunque ne’ cerchi uguali, ecc. c. d. d. PROPOSIZIQNE XXVIII. ’ *: * • «•••

0 «. •,, Ne’ cerchi uguali le corde uguali tagliano archi uguali, cioè il maggiore uguale ai maggiore, cd il minore al minore. .» 1 * . V ’. * «. Siano ABC, DEF i cerchi uguali, ed in essi le -corde uguali BC, EF; che taglino gli archi BAC, ED F maggiori, e gli archi BGC, EHF minori. Dico che l’arco BAC maggiore è uguale al maggiore EDF, ed il minore BGC al minore EHF. Trovinsi i centri K, L de’ due cerchi, e conducansi BK, KC, EL, LF. Poiché i cerchi sono uguali, saranno eziandio uguali i loro raggi. Adunque le due BK, KC sono uguali alle due EL, LF, e la base BC è uguale alla base EF. Onde l’angolo BKC è uguale all’angolo ELF [I, 8]. Ma gli angoli al centro uguali insistono sopra archi uguali [111,26], e però l’arco BGC è uguale all’arco EHF. Ma tutta la circonferenza ABC è uguale à tutta la DEF. Onde il rimanente arco BAC sarà uguale al rimanente EDF. Adunque ne’ cerchi uguali ecc. c. d. d. v I 112 GLI ELEMENTI D’EUCLIDE

, * * .*• ... ....; * v ’ rife* cerchi uguali agli archi uguali sono sottese corde uguali. 1. ,. / # * / .; < •• ^ 9 ',* • . # • % % - X Siano i cerchi uguali ABC, DEF, e prendansi ij> essi gli archi BGC, EH F uguali, e tirinsi BC, EF. Dicoche la linea retta BC è uguale alla retta EF. ’ ’ * c Trovinsi 1 centri K, L, de’ due ■ cerchi.e si conducanoB/^AC^ELJLF. Poiché 1* arco BGC è uguale all’arco EHF, sarà l’angolo BKC uguale all’angolo ELF [III, 27]. E perchè i cerchi ABC, DEF sonouguali, saranno uguali ancora i raggi. Adunque le due BK, KC sono uguali alle due EL, LF, e comprendono angoli uguali. Onde la base BC è uguale alla base EF. Adunque ne’ cer~ ehi uguali, ecc. c. d. d. N • •

- Dividere un dato arco per metà. Sia ADB il dato arco. Bisogna dividerlo per metà. Conducasi AB, e dividasi per metà in C [I, 10], e dal punto C tirisi la CD ad angoli retti sopra la AB [1,11] e tirinsi AD, DB. ( -, Perchè la AC è uguale alla CB, e la CD comune, e l’an- A golo ACD è uguale all’angolo BCD, essendo l’uno e l’altro retto, sarà la base AD uguale alla base DB. Ma ne’ cerchi uguali, epperò anche nel medesimo cerchio, le corde uguali tagliano archi uguali [III, 28], onde l’arco AD sarà uguale all’arco DB. Adunque il dato arco si è diviso per metà; il che bisognava fare.

Nel cerchio l’angolo che è nel mezzo cerchio è retto, quello che è nel maggior segmento è acuto e quello che è nel minor segmento è ottuso.

Sia il cerchio ABCD, il cui diametro sia BC, ed il centro E, e conducansi BA, AC, AD, DC. Dico che l’ angolo BAC che è nel mezzo cerchio è retto, e quello che è nel segmento ABC maggiore del mezzo cerchio, cioè l’angolo ABC, è acuto, e quello che è nel segmento ADC minore del mezzo cerchio, cioè l’angolo ADC, è ottuso.

Conducasi AE, e prolunghisi la BA in F. Poiché la BE è uguale alla EA, l’ angolo EAB sarà uguale all’ angolo EBA [I, 5]. E similmente perchè la EA è uguale alla EC, sarà l’angolo ACE uguale all’ angolo CAE. Adunque tutto l’angolo BAC è uguale alla somma dei due angoli ABC, ACB; ma anche l’angolo FAC esterno al triangolo ABC è uguale alla somma dei due ABC, ACB [I, 32]. Dunque l’angolo BAC è uguale 114 GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. V t all’ angolo F AC, e perciò l’uno e l’altro di essi è- retto [I, def. 10]. Onde 1* angolo BAC nel mezzo cerchio BAC è retto. * E perchè la somma dei due angoli ABC, DACMel triangolo ABC è minore di due retti [1,17], e BAC fr retto, sarà l’angolo ABC, minore del retto. Dunque l’angolo ABC nel segmento ABC maggiore del mezzo cerchio è acuto. , • <• • • Essendo poi i vertici del quadrilatero ABCD nella circonferenza, sarà la somma degli angoli ABC, ADC uguale a due retti {III, >22]. Ma l’angolo ABC è minore- dei retto; onde il rimanente ADC sarà- maggiore del retto. Dunque 1’ angolo .ADC nel segmento ADC minore del mezzo cerchio è ottuso; adunque nel cerchio V an* golo, ecc. c. d. d. -

Se da un punto della circonferenza di un cerchio si tirino la tangente ed una segante, T angolo da esse compreso sarà uguale a quelli contenuti nel segmento che è fuori del detto angolo. • • La linea retta EF sia tangente al cerchio ABCD nel punto B, e dal punto B tirisi nel cerchio ABCD una lineà retta BD, che lo seghi in qualunque modo. Dico che l’angolo FBD è uguale all' angolo net segmento DAB, e l’angolo EBD uguale all’ angolo nel segmento DCB. Tirisi dal puntò B la BA ad angoli retti sopra la EF, e piglisi

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• • LIBRO TERZO. 115 nella circonferenza J3D qualsivoglia punto C, e conducami AD, DC, CB. > * Poiché la linea retta EF è tangente al cerchio AB CD nel punto B, e dal punto di contatto B è tirata una linea retta BA ad angoli retti sopra la EF, sarà nella BA il centro del cerchio ABCD [III, 49|. Onde la BA è diametro del medesimo cerchio,, e l’angolo ADB nel mezzo cerchio è retto [IH, 31]. Ma la somma dei tre angoli del triangolo ABD è uguale a due retti [I, 32], adunque gli angoli rimanenti BAD, ABDfanno un retto. Anche l’angolo ABF è retto, e perciò'è uguale alla somma degli angoli BAD, ABD. Sottraggasi il comune ABD. Onde il rimanente DBF è uguale al rimanente BAD. E perchè il quadrilatero ABCD ha i suoi vertici sulla circonferenza, e quindi in esso gli angoli opposti fanno due retti [HI, 22], sarà la somma degli angoli DBF, DBE uguale a quella degli angoli BAD, BCD [Î, 13]; de’ quali BAD si è dimostrato uguale a DBF. Adunque il rimanente DBE sarà uguale ul rimanente DCB. Onde; se da un punto, ecc. c. d. d. . A • • * * f . * » *

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Sopra una data corda costruire un segmento di cerchio capace di un angolo uguale ad un angolo dato. Sia AB la linea retta data e C il dato angolo. Bisogna sopra AB come corda descrivere un segmento di cerchio, nel quale si contengano angoli uguali all’angolo C. , Nella data retta AB, e nel /c punto A dato in essa, costruiscasi ' l’angolo BAD uguale all’angolo C [I> 23]> e dal punto A tirisi foAE 116 GLI ELEMENTI D’EUCLipE. ad angoli retti sopra la AD [I, 11], e seghisi la AB per metà in F[I,10], e dal punto F tirisi FG ad angoli retti , " • sopra la AB, e tirisi GB. Poiché la AF è uguale alla FB, e la FG comune, e l’angolo AFG uguale all’angolo GFB, sarà la base AG uguale alla base GB. Onde dal centro G, coll’intervallo AG, descritto il cerchio, questo passerà ancor per B. Descrìvasi, e sia ADE, e conducasi EB. E perchè dalla estremità 4 del diametro AE, è tirata AD ad angoli retti sopra la AE, la AD sarà tangente al cerchio [HI, 16,cor.]. E perchè la retta AD è tangente al cerchio ABE, è dal punto di contatto A è tirata la segante AB nel cerchio ABE, l’angolo DAB sarà uguale all’angolo AEB contenuto nell’altra porzione del cerchio [III, 32]. Ma essendo l’angolo DAB uguale all’angolo C, sarà l’angolo C uguale all’angolo AEB. Onde sulla data corda AB si è descritto il segmento di cerchio AEB., capace di un angolo AEB uguale all’angolo dato C; il che bisognava fare. Da un dato cerchio tagliare un segmento capace di un angolo uguale ad un angolo dato. Sia ABC il cerchio dato e D il dato angolo. Bisogna dal cerchio ABC tagliare un segmento capace di un aneolo usuale all’aneolo D.

LIBRO TERZO. 117 Perchè la linea retta EF è tangente al cerchio ABC nel punto B, e dal punto di contatto B è tirata la BC, l’angolo FBC sarà uguale all’angolo BAC [HI, 32]. Ma FBC è uguale all’angolo D. Adunque eziandio l’angolq BAC sarà uguale all’angolo D. Onde dal dato cerchio ABC si è tagliato il segmento BAC, capace di un angolo uguale all’angolo dato D; il che bisognava fare. 1 é • • l /

" è # • • f • *’ . Se nel cerchio due corde si taglino fra loro, il rettangolo contenuto dalle parli di una è eguale al rettangolo contenuto dalle parti dell’’altra. i / . 4 * Nel cerchio A BCD seghinsi fra loro le-due corde AC, BD nel punto E. Dico che il rettangolo contenuto dalle A E, EC è eguale a quello contenuto dalle DE, EB. a Sia F il centro del cerchio A ABCD, e da F tirinsi le FG, FH, perpencolari .alle rette AC, DB: e conducansi FB, FC, FE. Poiché la retti GF tirata pel £ centro sega una corda AC ad angoli retti, là sega ancora per metà [IH,3]. Onde la AG è uguale a GC. E perchè la linea retta AC è divisa in parti uguali nel punto G, ed in parti disuguali in E, sarà il rettangolo contenuto dalle AE, EC insieme col quadrato di EG eguale al quadrato di GC [II, 5]. Aggiungasi il comune Squadrato di GF. Allora il rettangolo delle AE, EC insieme co’quadrati 418 GLI ELEMENTI D* EUCLIDE. / di EG, GF è eguale alla somma dei quadrati di CG, GF. Ma il quadrato di FE è eguale alla somma dei quadrati di EG, GF [I, il], ed ir quadrata di FC è eguale alla somma dei quadrati di CG,GF. Dunque il rettangolo delle AE, EC insieme col quadrata di FE è eguale al quadrato di FC ossia al quadrata di FB. Per la medesima ragióne il rettangolo delle DE, EB insieme col quadrato di FE è eguale al quadrato di FB. Adunque il rettangolo delle AE, EC insieme col quadrato di FE è eguale al rettangolo delle DE, EB insieme col quadrato di FE. Sottraggasi il quadralo comune di FE. Sarà il rettangolo rimanente della AE, EC uguale al rimanente delle DE, EB. Onde se nel cerchio due corde, ecc. c. d. d.

TEOnEMA. ’ % % «** • k /» • ’,, Se da un punto fuori del cerchio si tirino una retta tangente ed un’altra segante, il rettangolo contenuto da tutta la linea segante e dalla sua parte esterna è eguale al quadrato della linea tangente. ’- ’ • ’ c t * t. Piglisi un punto D fuori del cerchio ABC, e da esso si tirino la linea retta DCA che seghi il cerchio in C,A, e la DB tangente in B. Dico che il rettangolo delle AD, DC è eguale al quadrato della DB. Sia E il centro, e da E tirisi la EF perpendicolare alla AC, e conducansi EB, EC, ÉD. Poiché la linea retta EF tirata pel,centro sega una corda A C

da Goógle LIBRO TERZO. '

119 ad angoli retti, la segherà ancor per metà [HI, 3], Onde la AF è uguale a FC. Oltre a ciò perchè la linea retta AC è segata per mezzo nel punto F, e le si aggiunge la CD, il rettangolo della AD, DC insieme col quadrato di FC è eguale al quadrato di FD [II, 6]. Pongasi il quadrato di FE comune. Allora il rettàngolo delle AD, DC insieme co' quadrati delle CF, FE è eguale alla somma dei quadrali delle DF, FE. Ma il quadrato di DE è eguale alla somma dei quadrati di DF, FE, perciocché V angolo EFD ò retto [I, M, ed il quadrato di CE è eguale alla somma dei quadrati di CF, FE. Adunque il rettangolo delle AD, DC insieme col quadrato di CE è eguale al quadrato di ED. Ma la CE è uguale alla EB; onde il rettangolo delle AD, DC insieme col quadrato di EB è eguale al quadrato di ED. Ma il quadrato di ED è eguale alla somma dei quadrati di EB, BD, perciocché l’angolo EBD è retto. Adunque il rettangolo delle AD, DC insieme col quadrato di EB è eguale alla somma dei quadrati di EB, BD. Sottraggasi il quadrato comune di EB, e avremo il rimanente rettangolo delle AD, DC eguale al quadrato di DB. Laonde se da un punto, ecc. c. d. d.

r * > * • ^ Di qui è manifesto che se da un punto fuori del cerchio si tirino due seganti, il rettangolo contenuto dall’ una segante e dalla sua parte esterna sarà eguale al rettangolo contenuto dall’ altra segante e dalla, sua parte esterna; perocché ciascuno di questi rettangoli è eguale al quadrato della tangente tirata dal medesimo punto al cerchio. ì 120 GLI ELEMENTI D’EUCLIDE.

Da un punto fuori del cerchio tirata una segante ed un’ altra retta che termini alla circonferenza, se il rettangolo dell’ intera segante e della sua parte esterna è eguale al quadrato della seconda linea, questa sarà tangente al cerchio.

Piglisi fuori del cerchio ABC un punto D, e da quello tirinsi al cerchio due linee rette, cioè DCA che seghi il cerchio in C, A, e DB che termini al punto B; ed il rettangolo delle AD, DC sia eguale al quadrato della DB. Dico che la DB sarà tangente al cerchio ABC.

Tirisi una linea retta DE, tangente al cerchio ABC [III, 17|, il cui centro sia F, e conducansi FE,TB, FD. Allora l’angolo FED è retto [III, 18]. E perchè la DE è tangente al cerchio ABC, e la DCA lo sega, il rettangolo delle AD, DC sarà eguale al quadrato di DE [III, 36]. Ma il rettangolo delle AD, DC si suppone uguale al quadrato di DB. Onde il quadrato di DE sarà uguale al quadrato della DB. E perciò la linea DE è uguale alla DB. Allora le due DE, EF sono uguali alle due DB, BF, e la base FD è comune; onde Y angolo DEF è uguale all’ angolo DBF [I, 8]. Ma DEF è retto; dunque DBF ancora è retto. Ma FB prolungata è un diametro, e la retta che è tirata ad angoli retti alla estremità del diametro è tangente al cerchio [III, 16, cor.]. Adunque la DB è tangente al cerchio ABC necessariamente. Laonde da un punto, ecc. c. d. d.