Si potrebbero facilmente verificare in {S} tutte le proposizioni relative alle rette perpendicolari; in particolare che se dal punto comune di due corde coniugate in {S} si tracciano le tangenti [immaginarie coniugate] al cerchio fondamentale, queste tangenti sono separate armonicamente dalle due rette ortogonali [cfr. § 79].

§ 87. Vediamo ancora come nella metrica convenzionale, stabilita nell'interno del cerchio, possa esprimersi la distanza di due punti.

Si introduca perciò un sistema di coordinate ortogonali (x, y) con l'origine nel centro del cerchio. La distanza di due punti A (x, y), B (x', y'), nel piano convenzionale, non può rappresentarsi col solito radicale:

radice di [(x-x')2 + (y-y')2,

giacchè esso non è invariante per le trasformazioni proiettive sopra chiamate movimenti; la distanza sarà una funzione delle loro coordinate, invariantiva rispetto alle predette trasformazioni, che sulla retta gode della proprietà distributiva, espressa dalla formula:

dist. (AB) = dist. (AC) + dist. (CB).

Ora una espressione delle coordinate (x, y), (x', y'),di A e B, che rimanga invariata per tutte le trasformazioni proiettive che lasciano fisso il cerchio limite, è il birapporto dei quattro punti A, B, M, N, dove M N sono gli estremi della corda AB: la espressione più generale che gode della richiesta proprietà invariantiva è una funzione arbitraria di tale birapporto.

Richiedendo poi che la detta funzione riesca distributiva,