[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Bonola - La geometria non-euclidea.djvu{{padleft:30|3|0]]

Un primo notevole risultato è il seguente: A seconda che nel quadrilatero birettangolo isoscele ABCD è verificata l’ip. ang. retto, l’ip. ang. ottuso, l’ip. ang. acuto si ha rispettivamente: AB = CD, AB > CD, AB < CD [prop. III ]. Infatti, nell' ip. ang. retto, dal lemma precedente si deduce subito AB = CD. Nell' ip. ang. ottuso la perpendicolare OO' sul mezzo del segmento AB divide il quadrilatero fondamentale in due quadrilateri uguali e rettangoli in O ed O'. Essendo poi D > A, per il citato lemma sarà AO > DO’, quindi AB > CD. Nell’ip. ang. acuto queste disuguaglianze cambiano di senso, quindi: AB < CD.

Il teorema dimostrato s’inverte ragionando per assurdo [prop. IV].

Se in un solo caso è vera l’ipotesi dell’angolo retto, è vera in ogni altro caso. [prop. IV]

Sia nel quadrilatero birettangolo isoscele ABCD verificata l’ip. ang. retto. Presi in AD, e BC i punti H e K equidistanti da AB si formi il quadrilatero ABKH. Se HK è perpendicolare ad AH e BK anche nel nuovo quadrilatero sarebbe vera l’ip. ang. retto. Altrimenti si supponga AHK acuto, e conseguentemente il suo adiacente DHK ottuso. Allora nel quadrilatero ABKH, per l’ip. ang. acuto, sarebbe AB < HK, mentre nel quadrilatero HKCD, per l’ip. ang. ottuso, sarebbe HK < DC. Ma queste due disuguaglianze sono contraddittorie, essendo AB = DC [ip. ang. retto in ABCD]. Dunque AHK non può essere acuto; e poichè con lo stesso ragionamento si proverebbe che AHK non può essere ottuso, si conclude che anche nel quadrilatero ABKH vale l’ip. ang. retto.

Sui prolungamenti di AD e BC si prendano i punti M, N equidistanti dalla base AB. Dico che anche nel quadrilatero ABNM vale l’ip. ang. retto. Infatti se AM è multiplo di AD