[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Bonola - La geometria non-euclidea.djvu{{padleft:35|3|0]]due punti di s, il primo situato fra A e C, il secondo no; siano inoltre F ed F' i piedi delle perpendicolari calate da E ed E' sulla retta r. Valgono allora i seguenti teoremi:

1°) Se:		EF = AB,		, gli angoli ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$, ${\displaystyle {\widehat {DCA}}}$ sono retti.
		ovvero:
		E'F' = AB

2°) Se:		EF > AB,		, gli angoli ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$, ${\displaystyle {\widehat {DCA}}}$ sono retti.
		ovvero:
		E'F' < AB

3°) Se:		EF < AB,		, gli angoli ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$, ${\displaystyle {\widehat {DCA}}}$ sono retti.
		ovvero:
		E'F' > AB

Dimostriamo il 1° teorema.

Dall'ipotesi EF = AB si deducono le seguenti relazioni:

${\displaystyle {\widehat {BAE}}}$ = ${\displaystyle {\widehat {FEA}}}$;      ${\displaystyle {\widehat {FEC}}}$ = ${\displaystyle {\widehat {DCE}}}$;

le quali, insieme alla relazione fondamentale:

${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$ = ${\displaystyle {\widehat {DCA}}}$.

conducono a stabilire l'uguaglianza dei due angoli ${\displaystyle {\widehat {FEA}}}$. I quali, essendo adiacenti, saranno entrambi retti e conseguentemente retti i due angoli ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$, ${\displaystyle {\widehat {DCA}}}$.