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[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Bonola - La geometria non-euclidea.djvu{{padleft:36|3|0]]Lo stesso ragionamento è applicabile nell'ipotesi

$E'F'=AB$ .

Dimostriamo il 2° teorema.

Supponiamo in primo luogo $EF>AB$ . Allora su $EF$ prendiamo $EI=AB$ e congiungiamo $I$ con $A$ e $C$ . Valgono allora le seguenti relazioni.

Inoltre, pel teorema dell'angolo esterno [EUCLIDE, XVII], avremo pure:

${\widehat {FIA}}+{\widehat {FICF}}>{\widehat {EA}}+{\widehat {FEC}}=$ 2 ${\widehat {retti}}$

E poichè si ha:

${\widehat {BAC}}+{\widehat {DCA}}>{\widehat {BAI}}+{\widehat {DCI}}$ ,

si deduce:

${\widehat {BAC}}+{\widehat {DCA}}>{\widehat {FIA}}+{\widehat {FIC}}>$ 2 ${\widehat {retti}}$

Allora, per l'uguaglianza dei due angoli ${\widehat {BAC}},<math>{\widehat {DCA}}$ , si ricava:

{\widehat {BAC}}>

1

{\widehat {retto}}

c. d. d.

Supponiamo in secondo luogo $E'F'<AB$ . Allora prolunghiamo $F'E'$ fino ad ottenere il segmento $F'I'=AB$ e congiungiamo $I'$ con $C$ ed $A$ .

Valgono al solito le seguenti relazioni:

${\widehat {F'I'A}}={\widehat {BAI'}}$ ;

${\widehat {I'AE'}}>{\widehat {I'CE'}}$ ;

${\widehat {F'I'C}}={\widehat {DCI'}}$ ;

${\widehat {F'I'A}}<{\widehat {F'I'C}}$

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