Allora se CC' è una terza parallela, nel verso cui sono parallele le prime due, e se C è corrispondente di B, anche A e C sono corrispondenti. Benchè qui si arrestino gli appunti di Gauss, notiamo l'importante significato delle ultime considerazioni. [vedi figura 34.png]

Il concetto di punti corrispondenti, trasportato al caso in cui le rette AA', BB', CC' appartengono ad un fascio [cioè passino per un punto], ci permette di definire la circonferenza come luogo dei punti corrispondenti d'un punto dato sulle rette di un fascio. Ma questo luogo può costruirsi anche quando le rette del fascio sono parallele. Nel caso euclideo si ottiene una retta; scartando l'ipotesi euclidea il luogo in discorso è una linea, che, pur avendo molte proprietà comuni con la circonferenza, non è una circonferenza.