[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Generalizzazione della formula di Simpson.djvu{{padleft:9|3|0]]si formi la funzione F(x), intera, di grado 2n - 1, che soddisfa alle 2n condizioni:

${\displaystyle F(x_{0})=f(x_{0}),F(x_{1})=f(x_{1}),F(x_{2})=f(x_{2}),}$

... ${\displaystyle F(x_{n-1})=f(x_{n-1}),F(x_{n})=f(x_{n})}$,

${\displaystyle F'(x_{1})=f'(x_{1}),F'(x_{2})=f'(x_{2}),...F'(x_{n-1})=f'(x_{n-1}),}$,

Si avrà, com'è noto:

(10)	${\displaystyle f(x)=F(x)+(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}}$

Integrando si avrà appunto ${\displaystyle \int _{-1}^{+1}F(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})}$, onde

(11)	${\displaystyle R=\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}dx.}$

Portando fuori del segno integrale il fattore ${\displaystyle {\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}}$, cosa lecita, poiché il fattore rimanente ha un segno costante nell'intervallo di integrazione, si ha:

(12)	${\displaystyle R={\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n})dx.}$

Facendo n = 1, si ha la formula dei trapezii (α).
Per n = 2 si ha la formula di Simpson (β).
Per n = 3, fatti i calcoli, si ha:

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{6}}f(-1)+{\frac {5}{6}}f\left(-{\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {5}{6}}f\left({\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {1}{6}}f(1)+R,}$,

ove

${\displaystyle R=-{\frac {2^{5}}{3.5^{2}.7.6!}}f^{(6)}(u)}$,

e il resto è nullo per le funzioni di grado inferiore al 6º.