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Calcolare i determinanti reciproci, verificando il teorema di pagina 80-81.

Risposta. Lo studioso farà bene a calcolare i precedenti determinanti anche con lo sviluppo secondo gli elementi di una qualche linea. Più rapidamente si può osservare che ${\displaystyle D_{1}=0}$, perchè la terza riga è somma delle prime due; che ${\displaystyle D_{2}=1}$, perchè ${\displaystyle D_{2}}$ si riduce al termine principale; che ${\displaystyle D_{4}=-1}$, perchè, scambiando la seconda e la terza riga di ${\displaystyle D_{4}}$, se ne deduce un determinante il cui sviluppo è ridotto al suo termine principale.

Il determinante ${\displaystyle D_{3}}$ si può semplificare, per esempio, sottraendo dalla prima riga la seconda e la terza; il determinante ${\displaystyle D_{5}}$ si semplifica sottraendo dalla prima riga il doppio della seconda.

2° Calcolare

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}l&a&b&d&t\\l&m&c&e&s\\l&m&n&f&r\\l&m&n&g&k\\l&m&n&g&q\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}x&a&a&a&a\\a&x&a&a&a\\a&a&x&a&a\\a&a&a&x&a\\a&a&a&a&x\end{vmatrix}}}$

Risposta Con opportune sottrazioni di righe o di colonne si trova:

donde in particolare

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}x-a&0&0&0&a\\a-x&x-a&0&0&a\\0&a-x&x-a&0&a\\0&0&a-x&x-a&a\\0&0&0&a-x&x\end{vmatrix}}=(x-a)^{4}{\begin{vmatrix}1&0&0&0&a\\-1&1&0&0&a\\0&-1&1&0&a\\0&0&-1&1&a\\0&0&0&-1&x\end{vmatrix}}}$