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DETERMINANTI, SISTEMI DI EQUAZIONE DI PRIMO GRADO

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Ris. Il determinante D dei coefficienti è (es. 2° a pag. 91) uguale a $l(l-a)^{4}$ .

1° Se $l(l-a)^{4}\not =0$ , sarà $x=y=z=t=v=0$ .

2° Se $l=0,a\not =0$ , la caratteristica di D è 4, perchè è differente da zero il minore formato dalle prime 4 righe ed ultime 4 colonne. Si dà allora alla $x$ un valore arbitrario e si tien conto delle prime 4 equazioni, che, essendo $l=0$ risultano omogenee nelle y,z,t,v a determinante non nullo, cosicchè $y=z=t=v=0$ .

3° Se $l=a=0$ , alle x,y si possono dare valori arbitrari; e il nostro sistema si riduce al sistema:

$bz+ct+dv=0$

$bt+cv=0$

$bv=0$

che si discute senza difficoltà.

4° Se $l=a\not =0$ , il minore formato dalle prime quattro righe e ultime quattro colonne è

${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a&a&b&c\\a&a&a&b\\a&a&a&a\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a-b&b-c&c-d&d\\0&a-b&b-c&c\\0&0&a-b&b\\0&0&0&a\end{vmatrix}}=a(a-b)^{3}$ .

Se $a\not =b$ , questo minore è differente da zero; dato alla $x$ un valore arbitrario, si ricavino i valori di y,z,t,v, dalle prime quattro equazioni.

5° Resta da esaminare il caso che $l=a=b\not =0$ , ecc. ecc.

6° Calcolare il discriminante della equazione

$x^{2}+px+q=0$

e quello della $x^{3}+px+q=0$ , confrontando poi coi risultati già noti relativi a queste equazioni.

Ris. Per l'equaz. $x^{3}+px+q=0$ la somma dei quadrati $s_{2}$ delle due radici vale $p^{2}-2q$ . Quindi il discriminante vale

${\begin{vmatrix}2&-p\\-p&-p^{2}-2p\end{vmatrix}}=p^{2}-4q=4({\frac {p^{2}}{4}}-q)$ .

Ed è ben noto che le due radici di tale equazione sono uguali soltanto se ${\frac {p^{2}}{4}}=q$ , ecc. ecc.

7° Per quali valori di a può avvenire che l'equazione $x^{n}+a=0$ abbia due radici uguali?

8° Per quali valori delle p,q l'equazione $x^{3}+px+q=0$ ha due radici uguali?

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