[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:119|3|0]]pendolo retrocede fino a che il valore ${\displaystyle y}$, ripassando per lo zero, giunge al valore ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}(-{\frac {\alpha }{2}})={\frac {\alpha }{4}}}$, per poi retrocedere di nuovo giungendo al valore ${\displaystyle -{\frac {\alpha }{8}}}$, e così via.

E resta evidente che, se si prende il numero delle oscillazioni compiute dal pendolo abbastanza grande, si rendono piccoli a piacere i valori che può poi assumere ${\displaystyle y}$: ciò che esprimeremo scrivendo ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }y=0}$.

Infatti, se ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero positivo piccolo a piacere, sia ${\displaystyle n}$ cos' grande che ${\displaystyle 2^{n}>{\frac {|\alpha |}{\epsilon }}}$. Per ${\displaystyle x\geq n}$ sarà ${\displaystyle 2^{x}>{\frac {|\alpha |}{\epsilon }},{\frac {|\alpha |}{2^{x}}}<\epsilon }$.

E quindi per ${\displaystyle x>n}$ l'angolo ${\displaystyle y}$ è a fortiori minore di ${\displaystyle \epsilon }$.

${\displaystyle \gamma )}$ Tra i due precedenti esempi passa una certa differenza di comportamento. Mentre nel 1° la ${\displaystyle y}$ varia al crescere della ${\displaystyle x}$ sempre in un verso, e, senza mai essere nulla, finisce col diventare e restare piccola a piacere, la quantità ${\displaystyle y}$ del secondo esempio tende pure a zero. Ma essa non varia sempre in un verso: il suo valore assoluto prima diminuisce fino ad annullarsi, poi aumenta di nuovo, torna a diminuire, e così via. I massimi valori che ${\displaystyle |y|}$ raggiunge in ogni oscillazione vanno diventando però sempre più piccoli; cosicchè anche la ${\displaystyle y}$ del secondo esempio, come la ${\displaystyle y}$ del primo, finisce da un certo momento in poi con l'essere diventata e restare piccola a piacere in valore assoluto.

${\displaystyle \delta )}$ Se un punto ${\displaystyle M}$ si muove di moto uniforme su una retta ${\displaystyle OX}$, partendo da ${\displaystyle O}$, e muovendosi p. es. verso destra, la distanza ${\displaystyle y=OM}$ cresce sempre, anzi ad un certo istante in poi diventa e resta maggiore di una qualsiasi lunghezza ${\displaystyle L}$ assegnata. Se, p. es., misuriamo il tempo (in minuti, o in secondi, o ecc.) a partire dall'istante iniziale dal movimento, e se ${\displaystyle v}$ è la velocità (supposta costante) del movimento, dopo ${\displaystyle x>{\frac {L}{v}}}$ unità di tempo, si ha ${\displaystyle OM=y=xv>L}$. Ciò che noi esprimeremo scrivendo ${\displaystyle \lim y=\infty }$ (quando ${\displaystyle x}$ cresce indefinitamente), o anche senza altro ${\displaystyle \lim _{x_{1}=x}y=\infty }$.

Sia ora ${\displaystyle n}$ un punto che oscilli rapidamente intorno al precedente punto mobile ${\displaystyle M}$, e supponiamo che l'ampiezza di tali oscillazioni sia costantemente di 1 cm. La distanza ${\displaystyle y=ON}$