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per la stessa definizione, per calcolare il ${\displaystyle \lim _{x=a}y}$ si devono esaminare i valori che ${\displaystyle y}$ assume in punti distinti dal punto ${\displaystyle x=a}$.

Oss. ${\displaystyle 4^{\mathrm {a} }}$ Se in un intorno di ${\displaystyle x=a}$ la ${\displaystyle y}$ riceve costantemente uno stesso valore ${\displaystyle b}$, evidentemente il ${\displaystyle \lim _{x=a}y=b}$.

Oss. ${\displaystyle 5^{\mathrm {a} }}$ La ${\displaystyle \lim y=b}$ si legge: il limite di ${\displaystyle y}$ per ${\displaystyle x=a}$ è ${\displaystyle b}$; oppure ${\displaystyle y}$ tende al limite ${\displaystyle b}$, o anche tende a ${\displaystyle b}$ per ${\displaystyle x=a}$, oppure per ${\displaystyle x=a}$ la ${\displaystyle y-b}$ tende a zero, diventa infinitesima, è infinitesima.

Sarà un utile esercizio del lettore illustrare le precedenti definizioni per gli esempi del § 31.

Oss. ${\displaystyle 6^{\mathrm {a} }}$ Supponiamo che esista il ${\displaystyle \lim _{x=a}y=l}$, e che, quando ${\displaystyle x\not =a}$, si abbia ${\displaystyle y>k}$ oppure ${\displaystyle y\geq k}$.

Dovranno esistere dei valori di ${\displaystyle y}$ tali che ${\displaystyle |y-l|<\epsilon }$ e in particolare che ${\displaystyle l\geq y-\epsilon }$. Poichè pgni valore della ${\displaystyle y}$ non è inferiore a ${\displaystyle k}$, sarà ${\displaystyle l\geq k-\epsilon }$; ma ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero piccolo a piacere. Dovrà comunque essere ${\displaystyle l\geq k}$.

Così pure, se per ${\displaystyle x\not =a}$ è ${\displaystyle y<k}$, oppure ${\displaystyle y\leq K}$, ${\displaystyle l\leq k}$.

Come si vede, le disuguaglianze precedenti relative alla ${\displaystyle y}$ si conservano attenuate (mi sia lecita la frase) per un limite di ${\displaystyle y}$. Dico attenuate, perchè se, p. es., ${\displaystyle y>k}$, dalla ${\displaystyle l=\lim y}$ posso non già dedurre che ${\displaystyle l>k}$, ma soltanto che ${\displaystyle l\geq k}$. Un fatto analogo ci è già noto (pag. 10) per i limiti superiore ed inferiore.

Oss. ${\displaystyle 7^{\mathrm {a} }}$ Viceversa, se, p. es., ${\displaystyle \lim y=l<k}$, esiste per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ arbitrario un intorno ${\displaystyle \gamma }$ di ${\displaystyle a}$ tale che in questo intorno ${\displaystyle y\leq l+\epsilon }$. Scelto ${\displaystyle \epsilon <k-l}$, sarà dunque in tale intorno ${\displaystyle y<k</nath>.Unrisultatoanalogosiottienese<math>l>k}$.

Dalla disuguaglianza ${\displaystyle \lim y<k}$ [oppure ${\displaystyle \lim y>k}$] si deduce quindi una disuguaglianza ${\displaystyle y<k}$ [oppure ${\displaystyle y>k}$] per i valori della ${\displaystyle y}$; la quale però (si noti) è valida non già per tutti i valori della ${\displaystyle y}$; ma soltanto per quei valori che la ${\displaystyle y}$ riceve in un conveniente intorno del punto ${\displaystyle a}$.

Invece dalla ${\displaystyle y<k}$ [oppure ${\displaystyle y>k}$] si ricava soltanto ${\displaystyle \lim y\leq k}$ [ oppure ${\displaystyle \lim y\geq k}$], se questi limiti esistono e sono finiti. Anche dalla ${\displaystyle y\leq k}$ [oppure ${\displaystyle y\geq k}$] si ricava la stessa disuguaglianza.

B) Converremo di scrivere ${\displaystyle \lim _{x=a}y=\infty }$ se ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {1}{y}}=0}$.

Scelto ad arbitrio un numero ${\displaystyle \epsilon }$ positivo, e, posto ${\displaystyle k={\frac {1}{\epsilon }}}$, dovrà dunque esistere un intorno ${\displaystyle \gamma }$ di ${\displaystyle a}$ tale che per tutti i