[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:126|3|0]]

punti di questo intorno (il punto ${\displaystyle a}$ escluso) che appartengono al campo ${\displaystyle g}$ ove ${\displaystyle y}$ è definita, sia ${\displaystyle |{\frac {1}{y}}|\leq \epsilon }$, ossia ${\displaystyle |y|\geq k}$, cioè valga lìuna o l'altra delle disuguaglianza: ${\displaystyle y\geq k}$ oppure ${\displaystyle y\leq -k}$.

Possiamo dunque dire:

È ${\displaystyle \lim _{x=a}y=\infty }$, se, scelto ad arbitrio un numero k positivo (arbitrariamente grande), esiste un intorno ${\displaystyle \gamma }$ di a, tale che nei punti di ${\displaystyle \gamma }$, ove la y è definita, e che sono distinti da a, valga la ${\displaystyle |y|\geq k}$, cioè valga la:

               ${\displaystyle y\geq k}$                          oppure la                         ${\displaystyle y\leq -k}$.

Se vale sempre in ${\displaystyle \gamma }$ la prima di queste ultime due disuguaglianze, se cioè y è positiva in tutto un intorno di a, si dirà che il limite di y è ${\displaystyle +\infty }$.

Se vale in ${\displaystyle \gamma }$ la seconda, si dirà che ${\displaystyle \lim _{x=a}y=-\infty }$.

Se in ogni intorno di ${\displaystyle a}$ la ${\displaystyle y}$ assume valori tanto positivi che negativi, essa, pur tendendo a ${\displaystyle \infty }$, non tende nè a ${\displaystyle +\infty }$, nè a ${\displaystyle -\infty }$.

Anche qui potremo distinguere il limite per ${\displaystyle x=a+=}$, e il limite per ${\displaystyle x=a-0}$.

Dunque ${\displaystyle \lim _{x=a}y=b}$, (essendo anche ${\displaystyle a=\infty }$ oppure ${\displaystyle b=\infty }$) allora e allora soltanto che, dato a piacere un intorno ${\displaystyle \beta }$ di b, si può trovare un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a tale che quando ${\displaystyle x\not =a}$ varia in ${\displaystyle \alpha }$ assumento valori per cui y è definita, i corrispondenti valori di y appartengono a ${\displaystyle \beta }$.

Il lettore veda come si modifica questa proposizione, se, p. es., ${\displaystyle b=+\infty }$, oppure ${\displaystyle b=-\infty }$, p se si tratta del limite per ${\displaystyle x=a+}$ oppure per ${\displaystyle x=a-}$.

C) Come abbiamo visto in un esempio precedente, può ben avvenire che ${\displaystyle \lim _{x=a-0}y,\lim _{x=a+0}y}$ esistano entrambi, e siano differenti l'uno dall'altro; nè ciò può stupire, perchè per il primo limite si considerano i valori di ${\displaystyle y}$ per ${\displaystyle x}$ posto a sinistra di ${\displaystyle a}$; e per il secondo limite si considerano tutt'altri valori della ${\displaystyle y}$: quelli corrispondenti a valori di ${\displaystyle x}$ posti a destra di ${\displaystyle a}$.

Vogliamo dimostrare però il seguente:

Teorema di unicità. La y non può avere due limiti distinti, p. es., per ${\displaystyle x=a+0}$; cosicchè il ${\displaystyle \lim _{x=a+0}y}$ o non esiste, oppure ha un unico valore ben determinato.