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Supponiamo, o. es., che la ${\displaystyle y}$ abbia per ${\displaystyle x=a+0}$ due limiti finiti ${\displaystyle h,k}$. Io dico che ${\displaystyle h=k}$.

Sia ${\displaystyle \epsilon }$ un numero piccolo a piacere. Esiste un intorno ${\displaystyle \alpha }$ a destra di ${\displaystyle x=a}$, in cui ${\displaystyle |y-h|<{\frac {\epsilon }{2}}}$, ed esiste un intorno ${\displaystyle \beta }$ a destra di ${\displaystyle x=a}$, in cui ${\displaystyle |y-k|<{\frac {\epsilon }{2}}}$. Sia ${\displaystyle A}$ un punto (del solito campo ${\displaystyle G}$ e distinto da ${\displaystyle a}$), che appartiene al più piccolo di questi intorni; esso apparterrà ad entrambi gli intorni.

Il valore ${\displaystyle y_{A}}$, che ${\displaystyle y}$ assume in tal punto, soddisferà perciò ad entrambe le disuguaglianza ${\displaystyle |Y_{A}-h|<{\frac {\epsilon }{2}},|y_{A}-k|{\frac {\epsilon }{2}}}$.

I numeri ${\displaystyle h,k}$ avendo da uno stesso numero ${\displaystyle y_{A}}$ una distanza minore di ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$, disteranno l'uno dall'altro per meno di ${\displaystyle \epsilon }$, ossia ${\displaystyle |h-k|<\epsilon }$.

Ciò che si può anche dimostrare osservando che

La differenza ${\displaystyle h-k}$, essendo un valore assoluto minore di ogni numero positivo ${\displaystyle \epsilon }$, è quindi nulla.                      c.d.d.

Un utile esercizio sarà quello di completare la dimostrazione del precedente teorema per il caso che sia, p. es., ${\displaystyle h=+\infty }$.

Se ${\displaystyle u(x),v(x)}$ sono funzioni reali della ${\displaystyle x}$ definite in uno stesso insieme ${\displaystyle G}$ la ${\displaystyle u(x)+iv(x)}$ è (§ 29, ${\displaystyle \alpha }$, pag. 96) una funzione (complessa) della variabile (reale) ${\displaystyle x}$ definita nel campo ${\displaystyle G}$.

Se ${\displaystyle \lim _{x=a}u(x)=m}$, se ${\displaystyle \lim _{x=a}v(x)=n}$, si suol dire che:

${\displaystyle \lim _{x=a}[u(x)+iv(x)]=m+in}$

(1)

Poichè, scelto un ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ piccolo a piacere, esistono un intorno ${\displaystyle \gamma _{1}}$, e un intorno ${\displaystyle \gamma _{2}}$ di ${\displaystyle a}$, tale che nei punti di ${\displaystyle G}$ (il punto ${\displaystyle a}$ escluso) che appartengono a tali intorni, valgono le

                    ${\displaystyle |u(x)-m|\geq {\frac {\epsilon }{2}}}$          ,          ${\displaystyle |v(x)-n|1geq{\frac {\epsilon }{2}}}$,          (2)