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in un intorno ${\displaystyle \gamma }$ interno a ${\displaystyle \gamma _{1}}$ e a ${\displaystyle \gamma _{2}}$ varranno entrambe le (2). Varrà anche la

${\displaystyle ||u(x)+iv(x)|-|m+in||\leq \epsilon }$

(3)

perchè il primo membro di (3) non può superare

Viceversa, se per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$, esiste un intorno ${\displaystyle \gamma }$ per il quale valga la (3), allora è vera la (1).È così trovata una stretta analogia tra le definizioni di limite di una funzione reale o complessa. È evidente che dalla (1) segue

Una formola analoga non si può scrivere per gli argomenti perchè l'argomento di un numero complesso non è univocamente determinato.

Se però ${\displaystyle u(x)+iv(x)}$ è una funzione complessa, il cui modulo per ${\displaystyle x=a}$ ha per limite ${\displaystyle r}$, mentre l'argomento (o, per meglio dire, uno degli argomenti) ha per limite ${\displaystyle \theta }$, allora ${\displaystyle u(x)+iv(x)}$ ha per limite proprio ${\displaystyle r(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}$.

Se anche una sola delle funzioni ${\displaystyle u(x),v(x)}$ ha per limite ${\displaystyle \infty }$, ossia se ${\displaystyle |u+iv|={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$ ha per limite l'infinito, ossia se ${\displaystyle {\frac {1}{u+iv}}}$ ha per limite zero, diremo che ${\displaystyle u+iv}$ ha ${\displaystyle \infty }$ per limite.

Se ${\displaystyle p}$ p negativo, oppure complesso, supporremo senz'altro ${\displaystyle x}$intero. Distinguiamo parecchi casi:

1° Sia ${\displaystyle |p|>1,x>0}$.

Si osservi che ${\displaystyle |p^{x}|\geq k}$ se ${\displaystyle x\geq {\frac {\log _{10}k}{\log _{10}|p|}}}$ ossia se ${\displaystyle x}$ appartiene all'intorno ${\displaystyle \left({\frac {\log _{10}k}{\log _{10}|p|}},+\infty \right)}$ di ${\displaystyle +\infty }$.

Quindi:               ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }p^{x}=\infty }$               se ${\displaystyle |p|>1.}$