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2° Sia ${\displaystyle |p|<1,x<0}$. In tal caso ${\displaystyle {\frac {1}{|p|}}>1,y=-x>0,\lim _{x=-\infty }p^{x}=\lim _{x=+\infty }\left({\frac {1}{p}}\right)^{x}=\infty }$.

3° Sia ${\displaystyle |p|<1;x>0}$; sarà, posto ${\displaystyle q={\frac {1}{p}},|q|>1}$ e quindi ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }q^{x}=\infty }$, donde ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }{\frac {1}{q^{x}}}=0}$, ossia ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }p^{x}=0}$.

4° Sia ${\displaystyle |p|>1;x<0}$; posto ${\displaystyle q={\frac {1}{p}}}$, sarà ${\displaystyle |q|<1}$ e quindi per il 2° caso ${\displaystyle \lim _{x=-\infty }q^{x}=\infty }$, donde ${\displaystyle \lim _{x=-\infty }{\frac {1}{q^{x}}}=\lim _{x=-\infty }p^{x}=0}$.

5° Per ${\displaystyle p=1}$ è ${\displaystyle \lim _{\infty =x}p^{x}=1}$ (perchè ${\displaystyle p^{x}=1}$ per ogni valore di ${\displaystyle x}$).

6° Per ${\displaystyle p=-1}$ ed ${\displaystyle x}$ intero, ${\displaystyle p^{x}}$ assume i valori ${\displaystyle +1}$ o ${\displaystyle -1}$, secondo che math>x</math> è pari o dispari; e quindi ${\displaystyle \lim _{x=\infty }p^{x}}$ non esiste. Altrettanto avviene se ${\displaystyle |p|=1}$, e ${\displaystyle p}$ è un numero complesso.

Enunceremo e dimostreremo questi teoremi per le funzioni reali.

Tali teoremi valgono però, come apparirà evidente, anche per funzioni complesse.

È ben evidente che, se due quantitò ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ si avvicinano indefinitamente a (hanno per limite) due numeri finiti ${\displaystyle l_{1},l_{2}}$ la loro somma, la loro differenza, il loro prodotto e il loro quoziente (se ${\displaystyle l_{2}\not =0}$) si avvicinano indefinitamente a ${\displaystyle l_{1}+l_{2}+l_{1}-l_{2},l_{1}l_{2},{\frac {l_{1}}{l_{2}}}}$ (nell'ultimo caso si suppone ${\displaystyle l_{2}\not =0}$). Questa semplice osservazione si enuncia rigorosamente, e in modo più generale, coi seguenti teoremi:

${\displaystyle \alpha )}$ Se ${\displaystyle y_{1},y_{2},1cdotsy_{n}}$ sono funzioni della ${\displaystyle x}$ definite in uno stesso gruppo G, e se, p. es., per ${\displaystyle x=a+0}$ esse hanno dei limiti ${\displaystyle l_{1},l_{2},\cdots l_{n}}$ finiti, allora per ${\displaystyle x=a+o}$, la somma ${\displaystyle y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}$ ha per limite la somma ${\displaystyle l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}}$ dei limiti.