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Dimostreremo il teorema nel caso ${\displaystyle n=2}$; il caso generale si tratta, o con metodo analogo, oppure col metodo di induzione completa, osservando che:

Sia ${\displaystyle \eta }$ un numero arbitrario: esisterà un intorno destra ${\displaystyle \alpha _{1}}$ di < in cui ${\displaystyle |y_{1}-l_{1}|<\eta }$, ed un intorno ${\displaystyle \alpha _{2}<}$ di a, in cui ${\displaystyle |y_{2}-l_{2}|<\eta }$. Se ${\displaystyle \alpha }$ è un intorno intero tanto ad ${\displaystyle \alpha _{1}}$ che ad ${\displaystyle \alpha _{2}}$, allora in ${\displaystyle \alpha }$ valgono entrambe le precedenti disuguaglianze; donde si deduce:

Quindi, dato un numero ${\displaystyle \epsilon }$ piccolo a piacere e positivo, se ne deduce, posto ${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon }{2}}}$, che esiste un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a, in cui ${\displaystyle (y_{1}+y_{2})-(l_{1}+l_{2})}$ è minore di ${\displaystyle 2\eta =\epsilon }$ in valore assoluto.                                                                           c.d.d.

Oss. Per stabilire la precedente disuguaglianza sono aprtito dalla ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ del § 4, ${\displaystyle \delta }$, pag. 13.

${\displaystyle \beta )}$ Nelle stesse ipotesi di ${\displaystyle \alpha )}$ il limite del prodotto ${\displaystyle y_{1},y_{2}\cdots y_{n}}$ esiste ed è uguale al prodotto ${\displaystyle l_{1},l_{2}\cdots l_{n}}$ dei limiti.

Supponiamo, come sopra, ${\displaystyle n=2}$. Come sopra si dimostra che, dato un numero positivo ${\displaystyle \eta }$ qualsiasi, esiste un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a, in cui valgono entrambe le ${\displaystyle |y_{1}-l_{1}|\leq \eta ,|y_{2}-l_{2}|\leq \eta }$.

Si avrà in tale intorno:

Sia ora ${\displaystyle \epsilon }$ un numero piccolo a piacere; scelto ${\displaystyle \eta }$ tale che ${\displaystyle \eta <1}$. ${\displaystyle \eta <{\frac {\epsilon }{1+|l_{1}|+|l_{2}|}}}$, esisterà un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a in cui: ${\displaystyle |y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|\leq \eta ||l_{1}|+|l_{2}|+\eta |<{\frac {\epsilon }{1+|l_{1}|+|l_{2}|}}||l_{1}|+|l_{2}|+1|=\epsilon }$ ossia: ${\displaystyle |y_{1}y_{2}-l_{1}l_{2}|<\epsilon }$.                                                                                c.d.d.

${\displaystyle \gamma )}$ Se ${\displaystyle \lim y_{i}=l_{1}}$ e se ${\displaystyle l_{1}}$ è un numero finito diverso da zero, esiste un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a, in cui ${\displaystyle |y_{1}-l_{1}|<|{\frac {l_{1}}{2}}|}$, e quindi