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${\displaystyle |y_{1}|>|{\frac {l_{1}}{2}}|,y_{i}\not =0}$. In tale intorno ${\displaystyle \alpha }$ ha dunque significato il rapporto ${\displaystyle {\frac {1}{y_{1}}}}$. Analoga considerazione val se ${\displaystyle l_{1}=\infty }$.

Teorema. Se ${\displaystyle \lim _{x=a}y_{1}=l_{1}}$, è un numero finito non nullo, allora ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {1}{y_{1}}}={\frac {1}{l_{1}}}}$. Se invece ${\displaystyle l_{1}=\infty }$, allora ${\displaystyle \lim {\frac {1}{y_{1}}}=0}$.

Se ${\displaystyle y_{1}}$ è differente da zero nei punti di un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a (distinti da a) e se ${\displaystyle \lim _{x=a}y_{1}=0}$, alora ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {1}{y_{1}}}=\infty }$.

Se ${\displaystyle l_{1}=\infty ,\lim {\frac {1}{y_{1}}}=0}$ e vicerversa (§ 32, B, pag. 109). Supponiamo che ${\displaystyle l_{1}\not =0}$ sia un numero finito. Se ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero piccolo a piacere, esiste un intrno ${\displaystyle \beta }$ di ${\displaystyle a}$, in cui ${\displaystyle |y_{1}-l_{1}|<\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}}$. Se ${\displaystyle \gamma }$ è un intorno comune a ${\displaystyle \beta }$ e all'intorno ${\displaystyle \alpha }$, di cui parla la precedente osservazione, in tale intorno ${\displaystyle \gamma }$ sarà:

donde:

Per ogni numero ${\displaystyle \epsilon }$ esiste quindi un intorno ${\displaystyle \gamma }$ dove ${\displaystyle \left|{\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{l_{1}}}\right|<\epsilon }$; da ciò segue tosto il nostro teorema.

Corollario Se due funzioni ${\displaystyle y_{2},y_{1}}$ sono definite nello stesso gruppo ${\displaystyle G}$ ed hanno per ${\displaystyle x=a}$ limiti finiti ${\displaystyle l_{2},l_{1}}$, e se il limite di ${\displaystyle y_{1}}$ è differente da zero, allora la frazione ${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$ ha significato (se il denominatore non è nullo) in un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a, ed il suo limite per ${\displaystyle x=a}$ è uguale al quoziente ${\displaystyle {\frac {l_{2}}{l_{1}}}}$ dei limiti di ${\displaystyle y_{2}}$ e ${\displaystyle y_{1}}$. Ciò si dimostra osservando che ${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$ è il prodotto di ${\displaystyle y_{2}}$ per ${\displaystyle {\frac {1}{y_{1}}}}$.