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mancano l'uno o l'altro die limiti precedenti, o mancano tutti e due.

Se una funzione ${\displaystyle f(x)}$ è continua in ogni punto ${\displaystyle c}$ dell'intervallo (${\displaystyle a,b}$) la ${\displaystyle f(x)}$ si dice continua nell'intervallo (a,b).

Una funzione complessa ${\displaystyle u(x)+iv(x)}$ si dirà continua per ${\displaystyle x=a}$, se ${\displaystyle u(x),v(x)}$ sono continue per ${\displaystyle x=a}$.

${\displaystyle \beta }$) Dalla definizione stessa dei teoremi del § 35 segue che:

La somma ed il prodotto di più funzioni continue in un punto c [o nell'intervallo (a, b)] sono continui nello stesso punto (nello stesso intervallo).

Se ${\displaystyle f(x),\varphi (x)}$ sono cintinue in c, e ${\displaystyle \varphi (c)\not =0}$, allora il rapporto ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\varphi (x)}}}$ esiste in un intorno di questo punto ed è continuo per${\displaystyle x=c}$.

1° La fuhnzione ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ è continua dappertutto. basta far vedere che ${\displaystyle \lim _{h=0}\operatorname {sen}(x+h)=\operatorname {sen} x}$, ossia che:

Ora ${\displaystyle |\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x|=2\left|\operatorname {sen} {\frac {h}{2}}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq |h|}$, perchè ${\displaystyle \left|\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right|}$ non può superare l'unità e ${\displaystyle \left|\operatorname {sen} {\frac {h}{2}}\right|\leq \left|{\frac {h}{2}}\right|}$.

Quindi, se ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero positivo piccolo a piacere, in tutto l'intorno ${\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}$, del punto ${\displaystyle h=0}$, ossia per ${\displaystyle |h|<\epsilon }$, si ha ${\displaystyle |\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x|\epsilon }$.

2° La funzione ${\displaystyle a^{x}(a>0)}$ è continua.

3° La funzione ${\displaystyle \log _{a}x(a>0<9}$ è continua.

4° La funzione ${\displaystyle y=\tan x}$ è continua per ${\displaystyle x\not =\pm {\frac {\pi }{2}}}$ poichè è quoziente delle funzioni continue ${\displaystyle \operatorname {sen} x,\cos x}$, di cui la seconda è nulla solo per ${\displaystyle x=\pm {\frac {\pi }{2}}}$ (a meno di multipli di ${\displaystyle 2\pi }$).

${\displaystyle \gamma }$) Talvolta avviene che una funzione è continua in tutti i punti di un intervallo, eccetto che in uno o più punti, in cui la funzione può anche non essere definita. Tali punti si diranno i punti singolari della funzione in tale intervallo.