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Così, p. es., la funzione ${\displaystyle y={\frac {1}{x-a}}}$ è continua dappertutto, eccetto che nel punto ${\displaystyle x=a}$, dove essa non è definita. Il punto ${\displaystyle x=a}$, dove essa non è definita. Il punto ${\displaystyle x=a}$ è il punto singolare di questa funzione nell'intervallo ${\displaystyle (\infty ,+\infty }$. In questo caso percò esiste il ${\displaystyle \lim _{x=a}y}$ e si ha ${\displaystyle \lim _{x=a}y=\infty }$

Ogni qualvolta una funzione continua ${\displaystyle f(x)}$ ha il punto ${\displaystyle x=a}$ come punto singolare, ed è ${\displaystyle \lim _{x=a}f(x)=\infty }$, noi diremo che ${\displaystyle x=a}$ è un punto d'infinito di ${\displaystyle f(x)}$, o nche che ${\displaystyle f(x)}$ vi diventa infinita.

A meno di esplicita dichiarazione in contrario, noi, quando parleremo di funzioni continue in un intervallo, escluderemo sempre che possaggano punti singolari in tale intervallo.

${\displaystyle \delta }$) Sia ${\displaystyle y=f(z),z=\varphi (x)}$ e sia ${\displaystyle \lim _{x=a}\varphi (x)=b}$. Sia la ${\displaystyle y}$ continua per ${\displaystyle z=b}$; e si possa considerare la ${\displaystyle y=f[\varphi (x)]}$ come funzione della ${\displaystyle x}$ in un intorno del punto ${\displaystyle x=a}$. Dico che

ossia che il simbolo f di funzione continua si può permutare col simbolo di limite. Infatti, poichè ${\displaystyle f(z)}$ è continua per ${\displaystyle z=b}$, è ${\displaystyle \lim _{z=b}y=\lim _{z=b}f(z)=f(b)}$. E quindi (§ 35, ${\displaystyle \delta }$, pag. 116) anche

Così, p. es., ${\displaystyle \lim _{x=n}\log f(x)=\log[\lim _{x=a}f(x)]}$, se il ${\displaystyle \lim _{x=a}f(x)}$ è finito e positivo, cioè brevemente, ma incompletamente: Il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite.

Se ${\displaystyle \lim _{x=a}f(x)}$ esiste ed è uguale ad un numero b finito

Se ${\displaystyle \lim _{x=a}f(x)=b}$ si ha ${\displaystyle \lim _{x=a}\operatorname {sen} f(x)=\operatorname {sen} b}$, ecc.

${\displaystyle \epsilon }$) Se ${\displaystyle z=\varphi (y),y=f(x)}$ sono funzioni continue, e se z si può considerare come funzione di x in tutto un intervallo (a, b), la z è in tale intervallo funzione continua della x.

1° Si dimostri che ${\displaystyle x^{c}(c=}$cost,. ${\displaystyle x>0}$) + continua.

Ris. Infatti ${\displaystyle x^{c}=a^{y}}$, dove ${\displaystyle y=\log _{a}(x^{c})=c\log _{a}x}$. Poichè ${\displaystyle a^{y}}$ è continua, ${\displaystyle y=f(x)=c\log _{a}x}$ è pure continua, anche ${\displaystyle x^{c}}$ è continua.