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Oss. Questo teorema, se ${\displaystyle x<0}$, e c'è, p. es., un intero positivo, è ancora vero; lo si dimostra osservando che ${\displaystyle x^{c}}$ è il prodotto di ${\displaystyle c}$ funzioni tutte uguali a ${\displaystyle x}$ e quindi continue.

2° La funzione ${\displaystyle y=\log f(x)}$ è continua per quei valori della ${\displaystyle x}$, per cui ${\displaystyle f(x)}$ è continua e positiva.

α) È ben evidente che, se due punti ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ si avvicinano indefinitamente nello stesso tempo ad uno stesso punto ${\displaystyle L}$, un punto ${\displaystyle A}$, il quale sia sempre compreso nell'intervallo ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ dovraà pure tendere ad ${\displaystyle L}$. Questa osservazione rende intuitivo il

Teor. Se${\displaystyle y,y_{1},y_{2}}$, sono tre funzioni reali della x definite in uno stesso gruppo G, se per ogni valore di x in G la y è compresa tra ${\displaystyle y_{1}}$ ed ${\displaystyle y_{2}}$ (${\displaystyle y_{1}\leq y\leq y_{2}}$ oppure ${\displaystyle y_{1}\geq y\geq y_{2}}$), e se ${\displaystyle \lim y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}}$, anche ${\displaystyle \lim _{x=a}=\lim _{x=a}y_{1}=\lim y_{2}}$.

Supponiamo, p. es., ${\displaystyle \lim _{z=a}y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}=A=}$ numero finito. Come al § 35 si dimostra che, dato un numero ε>0 piccolo a piacere, esiste un intorno α di a, in cui valgono entrambe le ${\displaystyle |y_{1}-A|<\epsilon |y_{2}-A|<\epsilon }$. Poichè y è compreso tra ${\displaystyle y_{1}<math>ed<math>y_{2}}$, sarà in ${\displaystyle \alpha }$ anche ${\displaystyle |y-A|<\epsilon }$. Ne segue quindi che, dato ${\displaystyle \epsilon }$ piccolo a piacere, esiste un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di a, in cui vale la ${\displaystyle |y-A|<\epsilon }$. Perciò sarà ${\displaystyle \lim _{x=a}y=A}$.

Il lettore troverà un utile esercizio, completando questa dimostrazione per il caso ${\displaystyle A=\infty }$.

β) Applicheremo ora questo teorema alla dimostrazione della

Per una retta interpretazione di questa formola si ricordi che l'angolo ${\displaystyle x}$ deve essere misurato in radianti. Lo studente farà bene a rendersi intuitiva della formola costruendo un diagramma della curva ${\displaystyle y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}}$.

Ni ci accontenteremo di scrivere varii valori approssimati di detta funzione: ciò che basterà a rendere sensibile il fatto che, quanto più ${\displaystyle x}$ si avvicina a zero, tanto più ${\displaystyle y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}}$ si avvicina ad ${\displaystyle 1a}$.