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E il limite non muta, supponendo ${\displaystyle x}$ negativo; perchè, se si cambia il segno di ${\displaystyle x}$, anche ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ cambia di segno, e quindi${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}}$ rimane invariato.

Es. Trovare ${\displaystyle \lim _{x=0}{\frac {1-\cos x}{x}}}$. Si ha, posto ${\displaystyle x=2y}$,

Per ${\displaystyle x=0}$, ossia per ${\displaystyle y=o}$ è ${\displaystyle \lim \operatorname {sen} y=0,\lim {\frac {seny}{y}}=1}$. Quindi ${\displaystyle \lim _{x=0}{\frac {1-\cos x}{x}}=1.0=0}$.

α) Se un punto ${\displaystyle A}$ si muove sopra una retta sempre nello stesso verso, p. es., verso destra, è ben chiaro che possono presentarsi solo due casi:

1° Il punto ${\displaystyle A}$ finisce con l'allontanarsi indefinitamente a destra.

Oppure

2° Esiste un punto ${\displaystyle L}$, che il punto ${\displaystyle A}$ non supera, pure avvicinandosi ad esso indefinitamente. Così, p. es., se il punto ${\displaystyle A}$ ha una velocità costante, si presenterà evidentemente il primo caso. Se invece ${\displaystyle A}$ nel primo minuto percorre cm. 1, nel secondo cm. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, nel terzo cm. ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, nel quarto cm. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$, ${\displaystyle \cdots }$ nello ${\displaystyle n^{esimo}}$ minuto cm. ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$, esso dopo nminuti avrà percorso

cm. ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{n}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$.

Il punto ${\displaystyle A}$ non sarà perciò mai riuscito ad allontanarsi al di là di quel punto ${\displaystyle L}$, che ha una distanza di cm. ${\displaystyle 2}$ dal punto di partenza, pure diventando (al crescere di ${\displaystyle n}$) la distanza di ${\displaystyle AL\left({\text{che è}}{\frac {1}{2^{n}-1}}\right)}$ piccola a piacere.