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prossimazione raggiunto. Ora questo è possibile in molti casi. Per es., dall'esercizio 3° si deduce, posto ${\displaystyle {\frac {b}{a}}=k}$, che la quantità

(1)                              ${\displaystyle \log _{e}k=\lim _{n=x}n({\sqrt[{n}]{k}}-1)}$

è compresa, per ogni valore di n, tra

Cosicchè, se si pone ${\displaystyle \log _{e}k=n({\sqrt[{n}]{k}}-1)}$, l'errore commesso non supera

La (1) però così servire al calcolo approssimativo dei logaritmi iperbolici. Se ne ricava, per es., posto ${\displaystyle k=2,n=16}$ che ${\displaystyle \log _{e}2=0,70}$, con un errore non superiore a ${\displaystyle 0,03\cdots }$. Poichè però calcolare la ${\displaystyle {\sqrt[{10}]{2}}}$ equivale a estrarre successivamente quattro radici quadrate, questo metodo di calcolare i logaritmi neperiani è troppo poco rapido.

Se a è un numero reale ${\displaystyle z=x+iy}$ è un numero complesso, il simbolo ${\displaystyle a^{z}=a^{x+iy}}$ è un simbolo, a cui finora non abbiamo attribuito alcun senso. I matematici si servono però di tale simbolo specialmente quando ${\displaystyle a=e}$, ponendo con Eulero la seguente definizione:

È questa definizione accetabile? è essa opportuna?

Essa è accettabile perchè prova di contraddizioni, e perchè se ${\displaystyle y=0}$, cioè se ${\displaystyle z=x+iy}$ è reale, essa non contraddice all'ordinario significato di tale simbolo.

Molte poi sono le ragioni, che rendono opportuna tale definizione e che noi stessi incontreremo in questo libro. Qui ne accenneremo due specialmente importanti.

1° Se ${\displaystyle z=x+iy,z'=x'+iy'}$, allora, per la definizione di Eulero, il teorema:

è vero anche se ${\displaystyle z,z'}$ sono numeri complessi.