[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:149|3|0]]

che si ottengono dai secondi membri di (1) per ${\displaystyle x=iz}$. Cioè porremo:

Perciò ${\displaystyle \cos iz}$ e ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} iz}{i}}}$ sono reali per ${\displaystyle z}$ reale; noi li chiameremo rispettivamente il coseno iperbolico di ${\displaystyle z}$, e il seno iperbolico di ${\displaystyle z}$. E le indicheremo con cosh ${\displaystyle z}$ e senh ${\displaystyle z}$ (più brevemente ch z e sh z). È dunque:

Si verifica tosto che ${\displaystyle {\text{ch}}^{2}z-{\text{sh}}^{2}z=1}$; posto cioè ${\displaystyle x={\text{ch}}z.y={\text{sh}}z}$, il punto ${\displaystyle x,y}$ descrive al variare di z una iperbole (donde il nome di funzioni iperboliche), mentre invece le equazioni ${\displaystyle x=\cos z,y=\operatorname {sen} z}$ definsicono il cerchio ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ (donde il nome di funzioni circolari).

Si prova facilmente che ${\displaystyle {\text{ch}}(x\pm y)={\text{ch}}x{\text{ch}}y\pm {\text{sh}}x{\text{sh}}y}$, che ${\displaystyle {\text{sh}}(x\pm y)={\text{sh}}x{\text{ch}}y\pm {\text{sh}}y{\text{ch}}x}$, che ${\displaystyle {\text{ch}}(-x)={\text{ch}}x}$, che ${\displaystyle {\text{sh}}(-x)=-{\text{sh}}x}$. Adottando le (1) per definiz. di ${\displaystyle \cos x,\operatorname {sen} x}$ per ogni valore della ${\displaystyle x=y+iz}$ si trova ancora che ${\displaystyle \cos(y+iz)=\cos y\cos iz-\operatorname {sen} y\operatorname {sen} iz=\cos x{\text{ch}}z-i\operatorname {sen} y{\text{sh}}z}$

e che

Anche se ${\displaystyle x,y}$ sono numeri complessi continuano a valere le formole fondamentali delle goniometria

Posto per z reale ${\displaystyle {\text{th}}z={\frac {{\text{sh}}z}{{\text{ch}}z}}}$ (tangente uperbolica di z) è ${\displaystyle 1-{\text{th}}^{2}z={\frac {1}{{\text{ch}}^{2}}}}$.

Per ogni z reale si può perciò trovare un angolo ${\displaystyle \varphi }$ del primo o del quarto quadrante (che sarà funzione di z) tale che: