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Per il teor. di Ruffini (essendo ${\displaystyle \alpha _{1}}$ radice di ${\displaystyle P(z)=0}$) il polinomio ${\displaystyle P(z)}$ è divisibile per ${\displaystyle z-\alpha _{1}}$, cosicchè ${\displaystyle P(z)=(z-\alpha _{1})P_{1}(z)}$ ove ${\displaystyle P_{1}(z)}$ è un polinomio di grado ${\displaystyle n-1}$, il quale a sua volta ammetterà almeno una radice ${\displaystyle \alpha _{2}}$. Sarà perciò ${\displaystyle P_{1}(z)=(z-\alpha _{2})P_{2}(z)}$ e ${\displaystyle P(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})P_{z}(z)}$ dove ${\displaystyle P_{2}(z)}$ è un polinomio di grado ${\displaystyle n-2}$ che possiederò almeno una radice ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ecc., ecc. Si trova così in conclusione che ${\displaystyle P(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}$. Questa decomposizione in fattori è unica. Se infatti per altra via si trovasse anche

allora sarebbe

Dividendo, caso mai, i due membri per i fattori di primo grado comuni ad entrambi, ne dedurremo un'uguaglianza del medesimo tipo, in cui però nessuna dele α è uguale ad una delle β. Passando allora al limite per ${\displaystyle z=\alpha _{1}}$, il primo membro avrebbe limite nullo, il secondo membro avrebbe limite differente da zero; ciò che è assurdo. Dunque i fattori ${\displaystyle z-\alpha }$ del primo membro devono (tutt'al più in altro ordine) coincidere ciascuno con uno dei fattori ${\displaystyle z-\beta }$ del secondo membro; e viceversa. Il teorema di Gauss è così completamente provato.