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γ) Se la serie ${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ è convergente, e se ${\displaystyle b_{1},b_{2}\cdots ,b_{m}}$ sono costanti qualasiasi, la serie

(1)      ${\displaystyle b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$

(essendo ${\displaystyle m=}$intero positivo finito) converge ed ha per somma

Se S diverge od è indeterminata, altrettanto avviene di (1), o viceversa.

Per definizione di serie la prima parte del nostro teorema equivale alla

${\displaystyle S+b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}=\lim _{n=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})}$.

Ma questa formola è evidente, perchè, essendo per definizione ${\displaystyle S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})}$ si ha:

La seconda parte del nostro teorema se ne deduce pure immediatamente.

δ) Se le serie ${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots ,v_{1}+v_{2}+v_{3}\cdots }$ convergono ed hanno per somma U e V, anche la serie

converge ed ha per somma ${\displaystyle U+V}$

Infatti:

ε) Se la serie ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ converge, allora ${\displaystyle \lim _{n=\infty }a_{n}=0}$.

Infatti la somma S della serie si può definire con l'una o l'altra delle ${\displaystyle S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n});S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1})}$.

Sottraendo membro a membro si deduce appunto ${\displaystyle 0=\lim _{n=\infty }a_{n}}$.

La ${\displaystyle \lim _{n=\infty }a_{n}=0}$ è dunque una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza della nostra serie.