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Infatti in questo caso

e quindi

Vedremo in seguito che la somma di questa serie è proprio il numero e.

Si voglia calcolare la somma ${\displaystyle S}$ di questa serie con l'approssimazione di ${\displaystyle {\frac {1}{4000}}}$. Si osservi che la somma di tutti i termini sono lo ${\displaystyle n^{mo}}$ termine uguaglia.

${\displaystyle {\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots \end{Bmatrix}}=<{\frac {1}{\lfloor {n}}}{\begin{Bmatrix}1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+\cdots \end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\lfloor {n}}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}}$.

Se dunque scegliamo n così grande che ${\displaystyle {\frac {n+1}{n\lfloor {n}}}<{\frac {1}{4000}}}$, la somma dei primi n termini della nostra serie differisce dal valore vero della serie per meno di ${\displaystyle {\frac {1}{4000}}}$. Ora questa disuguaglianza è soddisfatta per ${\displaystyle n=7}$. Quindi si può scrivere:

${\displaystyle S=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{\lfloor {2}}}+{\frac {1}{\lfloor {3}}}+{\frac {1}{\lfloor {4}}}+{\frac {1}{\lfloor {5}}}+{\frac {1}{\lfloor {6}}}}$ con un errore (in difetto) minore di ${\displaystyle {\frac {1}{4000}}}$. Con tre cifre decimali esatte è quidni ${\displaystyle S=2,718}$.

Oss. In generale la somma ${\displaystyle s_{n}}$ dei primi n termini di una serie convergenze rappresenta la somma ${\displaystyle S}$ della serie con un errore che si può rendere piccolo a piacere scegliendo n abbastanza grande. Una serie è tanto più convergente al calcolo effettivo (converge tanto più rapidamente) quanto maggiore è l'approssimazione che si ottiene dando ad n valori non troppo grandi. Così, p. es., se i termini di ${\displaystyle a_{n}}$ di una serie ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ sono positivi, e se ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1}$ la serie, come sappiamo,