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1° La serie ${\displaystyle w_{1}+w_{2}+\cdots }$, dove ${\displaystyle w_{1}=1,w_{n}={\frac {x^{n-1}}{\lfloor {n-1}}}}$ converge assolutamente per ogni valore (anche complesso) della ${\displaystyle x}$ perchè il rapporto

tende a zero per ${\displaystyle n=\infty }$. Dal teor. ε) del § 42 segue in particolare che ${\displaystyle \lim _{n=+\infty }{\frac {x_{n}}{\lfloor {n}}}=0}$.

2° Studiamo ora la serie ${\displaystyle 1+u_{1}+u_{2}+\cdots }$ ove si è posto: ${\displaystyle u_{n}={\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{n}}{\lfloor {n}}}}$ ossia la serie ${\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1}{1.2}}x^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}x^{3}+\cdots }$

dove m è una qualsiasi costante.

Se m è un intero positivo, tutti i termini dopo lo ${\displaystyle (m+1)^{esimo}}$ sono nulli e sla serie si riduce ad un polinomio uguale (§ 11, pag. 44) ad ${\displaystyle 1+x)^{m}}$.

Se m non è un intiero positivo, allora si noti che:

${\displaystyle \left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\left|{\frac {\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)(m-n)}{\lfloor {n+1}}}{\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{\lfloor {n}}}}{\frac {x^{n+1}}{x^{n}}}\right|=\left|{\frac {m-n}{n+1}}\right||x|}$

e quindi

Se dunque ${\displaystyle |x|<1}$, la nostra serie converge assolutamente.

E in particolare ne consegue che, se ${\displaystyle |x|<1}$, allora