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Fig. 18

α) Sia, p. es., la curva ${\displaystyle y=f(x)}$ (fig. 18) la retta uscente dal punto di ascissa ${\displaystyle a}$ ed ordinata ${\displaystyle b}$ col coefficiente angolare ${\displaystyle m}$; sia cioè ${\displaystyle f(x)=b+m(x-a)}$ dove ${\displaystyle m={\text{tg}}\omega }$, essendo ${\displaystyle \omega }$ il solito angolo della retta con l'asse delle ${\displaystyle x}$. L'area della nostra figura (un trapezio) è

Ne deduciamo che la derivata di

è ${\displaystyle b+m(x-a)}$: ciò che si pò dimostrare direttamente col metodo di pag. 162.

β) Sia ora la curva ${\displaystyle y=f(x)}$ un arco di cerchio col centro nell'origine e raggio ${\displaystyle R}$. Dalla equazione ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{c}}$ di questo cerchio si trae ${\displaystyle y=f(x)=+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$ (fig. 19). Fig. 19. L'area racchiusa tra l'asse delle ${\displaystyle x}$, il cerchio, l'ordinata (di lunghezza nulla) di ascissa ${\displaystyle -R}$ e l'ordinata di ascissa variabile ${\displaystyle x}$ è data da ${\displaystyle (\pi -\alpha )R{\frac {R}{2}}+{\frac {xy}{2}}}$, dove ${\displaystyle \alpha }$ (cfr. fig. 19) è l'arco minore di ${\displaystyle \pi }$ che ha per coseno ${\displaystyle {\frac {x}{R}}}$, o, come si suol dire, ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {x}{R}}}$ ed ${\displaystyle y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$.

Quindi la derivata di ${\displaystyle \left(\pi -\arccos {\frac {x}{R}}\right){\frac {R^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}(0\leq {\text{arc cos}}x\leq \pi )}$ è uguale a ${\displaystyle y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$.

γ) Infine, se ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ e quindi la curva ${\displaystyle y={\frac {!}{x}}}$ è un'iperbole equilatera con gli assi coordinati per asintoti, noi sappiamo (§ 38, es. 3°, pag. 128) che ${\displaystyle A(x)=\log _{e}{\frac {x}{a}}}$. Quindi la derivata di ${\displaystyle \log _{e}{\frac {x}{a}}}$ e in aprticolare di ${\displaystyle \log _{e}x}$ vale ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$.