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2° Sia dato un solido ${\displaystyle S}$. Esista e sia ${\displaystyle y=f(x)}$ il volume di quella porzione di ${\displaystyle S}$ che è racchiuisa tra un certo piano fisso ${\displaystyle \pi }$, e un piano parallelo ${\displaystyle \pi '}$ posto alla distanza ${\displaystyle x}$ dal precedente. L'area della sezione ${\displaystyle s}$ fatta da ${\displaystyle \pi '}$ in ${\displaystyle S}$ esista, e sia una funzione ${\displaystyle F(x)}$ continua della ${\displaystyle x}$. Dimostreremo che ${\displaystyle f'(x)=F(x)}$.

Oss. Ammettiamo il teorema che il volume dello strato ${\displaystyle S}$, che è compreso tra due piani ${\displaystyle \pi _{1}}$ e ${\displaystyle \pi _{2}}$ qualsiasi paralleli a ${\displaystyle \pi }$ sia compreso tra i prodotti della distanza di questi due piani per i valori massimo e minimo dell'area d'una sezione fatta in ${\displaystyle S}$ da un piano parallelo a ${\displaystyle \pi _{1}}$ od a ${\displaystyle \pi _{2}}$. Questo teorema, che troveremo più tardi dimostrato in generale, è evidente se, p. es., ${\displaystyle S}$ è una sfera, o un ellissoide avente ${\displaystyle \pi }$ per piano di due assi, o una piramide avente la base parallela a ${\displaystyle \pi }$ tale che il piede dell'altezza sia interno alla base, ecc. A tutti questi solidi il nostro ragionamento è quindi applicabile senza necessità di ammettere alcun teorema non dimostrato.

Ris. Se ${\displaystyle \pi ',\pi ''}$ sono due piani paralleli a ${\displaystyle \pi }$, il volume ${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$ dello strato limitato in ${\displaystyle S}$ da ${\displaystyle \pi '}$ e da ${\displaystyle \pi ''}$ è, per l'osservazione precedente, compreso tra ${\displaystyle hM}$ ed ${\displaystyle hm}$, se con ${\displaystyle M}$ e con ${\displaystyle m}$ indichiamo rispettivamente il massimo ed il minimo valore di ${\displaystyle F(x)}$ nell'intervallo ${\displaystyle x,x+h}$.

E col metodo tante volte usato si deduce

L'allievo controlli questo risultato nei casi su citati che ${\displaystyle S}$ sia una sfera, od una piramide, calcolando effettivamente ${\displaystyle f(x)}$ ed ${\displaystyle F(x)}$.

Varie e molteplici sono le applicazioni della definizione di derivata di una funzione ${\displaystyle f(x)}$ e in moltissimi problemi la considerazione di ${\displaystyle f'(x)}$ si presenta spontanea. Perciò assai importanti sono i problemi fondamentali del calcolo:

1° Trovare la derivata di una funzione data.

2° Trovare le funzioni, che hanno una derivata assegnata.

Del primo si occupa il calcolo differenziale, del secondo il calcolo integrale.