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α) Se ${\displaystyle y=f(x)=u(x)+iv(x)}$ è una funzione complessa della variabile reale ${\displaystyle x}$, chiameremo derivata di ${\displaystyle x}$ e indicheremo con ${\displaystyle y'=f'(x)}$ ancora il

quando questo limite esiste ed è finito. Ciò che avviene allora e allora soltanto che esistono e sono finite le ${\displaystyle u'(x),v'(x)}$; ed è in tal caso

β) In casi estremamente particolari si conviene talvolta di considerare delle variabili complesse ${\displaystyle Z}$ come funzioni di un'altra variabile pure complessa ${\displaystyle z}$; tale convenzione si pone per una ${\displaystyle Z}$ che sia uguale a una serie convergente, di cui lo ${\displaystyle (n+1)^{esimo}}$ termine sia il prodotto di una costante ${\displaystyle k_{n}}$ per ${\displaystyle z^{n}}$ o per ${\displaystyle {\frac {1}{z^{n}}}}$ (o più generalmente per ${\displaystyle [z-\alpha ]^{n}}$, dove ${\displaystyle \alpha }$ è una costante). Di ciò parleremo più a lungo in un altro capitolo. Qui ci basterà considerare il caso particolare che i termini di tale serie dopo lo ${\displaystyle (n+1)^{esimo}}$ siano nulli, ossia brevemente che ${\displaystyle Z}$ sia un polinomio:

(1)     ${\displaystyle Z=a_{n}+a_{n-1}z+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{0}z^{n}=P(z)}$.

Anche nel campo delle variabili complesse chiameremo derivata e indicheremo con ${\displaystyle Z'}$ il limite del rapporto incrementale (se esiste). Per la funzione (1) tale derivata esiste e si calcola, come se si trattasse di variabili reali. Infatti

Si noti che ${\displaystyle h}$ si deve considerare come un numero complesso ${\displaystyle m+in}$. Il limite per ${\displaystyle h=0}$ significa il limite per ${\displaystyle m=n=0}$. Si noti che

${\displaystyle {\frac {(z+h)^{j}-z^{j}}{h}}={\frac {(z+h)^{j}-z^{j}}{(z+h)-z}}=(z+h)^{j-1}+z(z+h)^{j-2}+z^{2}(z+h)^{j-2}+\cdots +z^{j-1}}$.

E per math>h=0</math> questa espressione ha per limite proprio ${\displaystyle jz^{j-t}}$ (tantp se le ${\displaystyle a}$ e le ${\displaystyle z}$ sono reali, quanto se sono complesse),