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δ) Si trovi la derivata di ${\displaystyle y=a^{x}(a>0)}$.

Si ha

${\displaystyle y'=\lim _{h=0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {a^{z}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\lim _{h=0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=}$

In particolare la derivata ${\displaystyle y=e^{x}}$ è uguale a

ε) Si trovi la derivata di ${\displaystyle y=\log _{a}x(a>0)(x>0)}$.

Si ha ${\displaystyle y'?\lim _{h=0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}}$.

Posto ${\displaystyle h={\frac {x}{m}}}$, ossia posto ${\displaystyle m={\frac {x}{h}}}$, se ne deduce:

${\displaystyle y'=\lim _{m=\infty }{\frac {\log _{a}\left(x+{\frac {x}{m}}\right)-\log _{a}x}{x:m}}={\frac {1}{x}}\lim _{m=\infty }m\log _{a}{\frac {x+{\frac {x}{m}}}{x}}=}$

In particolare, se ${\displaystyle a=e}$, si ha che la derivata di ${\displaystyle y=\log _{e}x}$ è ${\displaystyle y'{\frac {1}{x}}}$: coò che del resto avevamo già trovato (pag. 166, es. 1°, γ) per via geometrica.

λ) Derivare ${\displaystyle y=x^{n}}$ (${\displaystyle n}$ intero positivo).

Ris. Si noti che

${\displaystyle (x+h)^{n}=x^{n}+nhx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}x^{n-2}+\cdots }$

Si troverà ${\displaystyle y'=nx^{n-1}}$.

η) Derivare ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$.

Si ha

Si trova ${\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$.