[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:194|3|0]]per il tempo ${\displaystyle dx}$ impiegato a percorrerlo; cosicchè ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=F(x)}$, ossia la velocità ${\displaystyle F(x)}$ vale la derivata di ${\displaystyle f(x)}$.

A chi volesse considerare questo procedimento come un ragionamento vero e proprio, si obietterebbe che due sono gli errori commessi:

${\displaystyle \alpha )}$ quello di considerare ${\displaystyle F(x)}$ costante nell'intervallo ${\displaystyle (x,x+dx)}$;

${\displaystyle \beta )}$ quello di porre ${\displaystyle f(x+dx)-f(x)=df}$ anzichè

ossia il confondere il differenziale ${\displaystyle df}$ con l'incremento ${\displaystyle \Delta f}$.

Il ragionamento rigoroso fatto al § 47 dimostra che questi due errori si compensano, almeno nel caso che ${\displaystyle F(x)}$ sa funzione continua. Si noti che considerare ${\displaystyle F(x)}$ come costante, o supporre ${\displaystyle \Delta f=df}$ equivale a scambiare la curva ${\displaystyle y=f(x)}$ con la sua tangente nel punto ${\displaystyle x}$; cosicchè in questo precede sia è scambiata due volte la curva con la sua tangente: ciò che rende intuitivo il perchè i due errori si siano compensati.

Es. Sia ${\displaystyle A(x)}$ l'area del rettanglo racchiuso dalla curva

dell'ordinata di ascissa ${\displaystyle a}$, dall'ordinata variabile di ascissa ${\displaystyle x}$ e dall'asse delle ${\displaystyle x}$.

Si voglia trovare ${\displaystyle A'(x)={\frac {dA}{dx}}}$.

Nell'intervallo infinitesimo ${\displaystyle (x,x+dx)}$ la ${\displaystyle f(x)}$ si può considerare come costante; cosiccè l'incremento

che riceve l'area ${\displaystyle A}$ nel passare dall'ordinata di ascissa ${\displaystyle x}$ all'rdinata di ascissa ${\displaystyle x+dx}$,si può considerare come un rettangolo di base ${\displaystyle dx}$ ed altezza ${\displaystyle f(x)}$.È quindi

Valgono anche per questo esempio osservazioni analoghe a quelle fatte per il precedente.

${\displaystyle \alpha )}$ La funzione ${\displaystyle f(x)}$ sia uguale alla somma

delle ${\displaystyle n}$ funzioni ${\displaystyle \varphi _{1}}$ che supponiamo derivabili.