[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:195|3|0]]Cerchiamo la derivata della ${\displaystyle f(x)}$. Supporremo ${\displaystyle n=2}$. La dimostrazione vale però affatto analoga in generale.

Si ha per definizione

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {|\varphi _{1}(x+h)+\varphi _{2}(h+h)|-\varphi (x)+\varphi _{2}(x)|}{h}}\end{Bmatrix}}=}$

Donde:

La derivata della somma di due o più funzioni, che posseggono derivata (finita), eiste ed è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse (cfr. § 50).

β) Oss. 1^a. Un caso particolare del precedente teorema è evidentemente il seguente:

Le derivate di ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ e di ${\displaystyle y=\varphi (x)+{\text{cost.}}}$ sono uguali (poichè la derivata di ${\displaystyle y={\text{cost.}}}$ è nulla) (naturalmente, se esistono).

Si propone al lettore di illustrare categoricamente questo teorema, osservando che dalla curva ${\displaystyle y=f(x)}$ si passa alla ${\displaystyle y=f(x)+{\text{cost.}}}$ mediante una traslazione.

Nel caso che ${\displaystyle y}$ sia lo spazio percorso da un punto mobile all'istante ${\displaystyle x}$, quale significato assume quest'osservazione?

Oss. 2^a. Un teorema affatto analogo al precedente vale per la differenza di due funzioni; in particolare la derivata di ${\displaystyle -f(x)}$ è ${\displaystyle -f'(x)}$.

Siano ${\displaystyle \varphi (x)}$ e ${\displaystyle \psi (x)}$ due funzioni derivabili (e quindi conitnue). Vogliamo trovare la derivata della funzione prodotto