[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:197|3|0]]Sostituendo a ${\displaystyle \psi (x),\psi '(x)}$ i valori dedotti dalle precedenti formole, si ha infine:

${\displaystyle f'(x)=\varphi '(x)\varphi _{2}(x)\varphi _{3}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi '_{2}(x)\varphi _{3}(x)+\varphi _{1}(x)\varphi _{2}(x)\varphi '_{3}(x)}$.

Studiando in modo simile i prodotti di ${\displaystyle n}$ funzioni derivabili, si ha:

La derivata del prodotto di n funzioni derivabili esiste ed è la somma degli n prodotti ottenuti moltiplicando la derivata di uno dei fattori per gli altri n — 1 fattori.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse.

Ora cerchiamo la derivata di ${\displaystyle y={\frac {1}{\psi (x)}}}$, supponendo che ${\displaystyle \psi (x)}$ sia una funzione differente da zero avente derivata finita.

Avremo

che è il limite del prodotto di due fattori.

La ${\displaystyle \psi (x)}$ è continua, perchè la sua derivata esiste (ed è finita); quindi ${\displaystyle \psi (x+h)}$ tende a ${\displaystyle \psi (x)}$ per ${\displaystyle h=0}$, e perciò ${\displaystyle \psi (x)\psi (x+h)}$ tende a ${\displaystyle [\psi (x)]^{2}}$; dunque il limite del primo fattore è ${\displaystyle {\frac {1}{[\psi (x)]^{2}}}}$.

Il secondo fattore è il rapporto incrementale della funzione ${\displaystyle \psi (x)}$ e il suo limite per ${\displaystyle h=0}$ è la derivata ${\displaystyle \psi '(x)}$ (che esiste ed è finita); quindi:

cioè per derivare la funzione ${\displaystyle {\frac {1}{\psi (x)}}}$ si divide la derivata della funzione ${\displaystyle \psi (x)}$ per il quadrato della funzione stessa e si cambia segno al quoziente.