[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:198|3|0]]Ora, per il teorema sulla derivazione del prodotto di due funzioni se ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle \psi (x)}$ sono due funzioni continue aventi derivata finita, se ${\displaystyle \psi (x)\not =0}$, e si pone ${\displaystyle y={\frac {f(x)}{\psi (x)}}=f(x){\frac {1}{\psi (x)}}}$, si ha:

ossia

cioè si ha il

Teorema. La derivata del quoziente ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\psi (x)}}}$ di due funzioni continue ${\displaystyle (\psi (x)\not =0}$) che hanno derivata finita è una frazione il cui denominatore è il quadrato della funzione denominatore ${\displaystyle \psi (x)}$, e il cui numeratore si ottiene sottraendo dal prodotto della derivata ${\displaystyle f'(x)}$ del numeratore ${\displaystyle f(x)}$ per il denominare ${\displaystyle \psi (x)}$ il prodotto della derivata ${\displaystyle \psi '(x)}$ del denominatore per il numeratore ${\displaystyle f(x)}$.

Questo teorema vale anche per le funzioni complesse.

1° La derivata di ${\displaystyle {\text{tg}}x={\frac {{\text{sen}}x}{{\text{cos}}x}}}$ è ${\displaystyle {\frac {{\text{cos}}^{2}x+{\text{sen}}^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}}}$, cioè è ${\displaystyle {\frac {1}{{\text{cos}}^{2}x}}}$.

2° Nello stesso modo si prova che la derivata di ${\displaystyle {\text{cotg}}x={\frac {{\text{cos}}x}{{\text{sen}}x}}}$ vale ${\displaystyle -{\frac {1}{{\text{sen}}^{2}x}}}$.

Questa formola si può anche dimostrare ricordando che ${\displaystyle {\text{cotg}}x={\frac {1}{{\text{tg}}x}}}$, e usando poi del primo risultato di questo paragrafo.

α) Tra le due variabili ${\displaystyle x}$ ed ${\displaystyle y}$ esiste una corrispondenza biunivoca, in guida cioè che ad ogni valore della ${\displaystyle x}$ in unc erto intervallo α corrisponda uno ed uno solo valore della ${\displaystyle y}$ di un certo intervallo β, e viceversa. Vale a dire la ${\displaystyle y}$ si possa considerare come funzione ${\displaystyle f(x)}$ della ${\displaystyle x}$ (per ${\displaystyle x}$ appartenente all'intervallo α) e viceversa la ${\displaystyle x}$ si possa considerare come fun-