[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:200|3|0]]

${\displaystyle y=\log _{a}x,x=a^{y}}$, che le due derivate ${\displaystyle y'_{z}={\frac {1}{x}}\log _{a}e{\text{e}}x'_{y}=a^{y}\log _{e}a}$ sono reciproche, perchè ${\displaystyle a^{y}=x,\log _{a}e\log _{e}a=1}$.

1° Si derivi ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$.

Ris. Si ha ${\displaystyle x=y^{n},x'_{y}=ny^{n-1},y'_{x}={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{(n-1)}}}}$, cosicchè la derivata ${\displaystyle y=x^{n}}$ vale:

2° Si derivi${\displaystyle y=x^{\frac {m}{n}}}$.

Ris. È ${\displaystyle y=\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{m}}$, donde ${\displaystyle y'=m\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{m-1}{\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}}$.

3° Si derivi ${\displaystyle y=x^{\frac {m}{n}}}$.

Ris. È ${\displaystyle y={\frac {1}{x^{\frac {m}{n}}}}}$, donde ${\displaystyle y'={\frac {-1}{x^{\frac {2m}{n}}}}{\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}=-{\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}}$.

4° (Da tutte queste formole si trae che) la derivata di ${\displaystyle y=x^{n}}$ per ogni valore razionale di ${\displaystyle n}$ vale ${\displaystyle y'=nx^{n-1}}$.Più avanti estenderemo questa importante formola anche al caso di ${\displaystyle n}$ irrazionale. (Il lettore esamini il caso ${\displaystyle x\leq 0}$).

β) Sia ${\displaystyle y={\text{sen}}x}$ La curva immagine è la cosidetta sinusoide. Se ne ricava che ${\displaystyle x={\text{arcsen}}y<math>(<maht>x}$x=</math> arco, che ha il seno uguale ad ${\displaystyle y}$). Osserviamo però che, dato il valore ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle |y|\leq 1}$) del seno, l'arco ${\displaystyle x}$ corrispondente non è univocamente determinato, ma ha infiniti valori, come è ben noto, e come si può verificare dalla figura 21.

Questa rende ben evidente che, p. es., al valore ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}}$ del seno corrispondono infiniti valori dell'arco ${\displaystyle x}$. La