[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:202|3|0]]

Si può dimostrare direttamente che ${\displaystyle ({\text{arcsen}}x')_{x}=+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},({\text{arccos}}x)'_{x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},({\text{arctg}}x)'_{x}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$.

Ris. Dimostriamo, p. es., l'ultima formola. Ricordo che:

Se ne deduce:

${\displaystyle \lim _{h=o}{\frac {{\text{arctg}}(x+h)-{\text{arctg}}x}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{arctg}}{\frac {h}{1+h(x+h)}}}{h}}=}$ ${\displaystyle =\lim _{h=0}{\frac {1}{1+x(x+h)}}\lim _{h=0}{\frac {{\text{arctg}}k}{k}}}$, dove ${\displaystyle k={\frac {h}{1+x(x+h)}}}$.

Se ne deduce: ${\displaystyle ({\text{arctg}}x)'_{x}={\frac {1}{1+x^{2}}}\cdot 1={\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Sia ${\displaystyle y}$ una funzione di una funzione ${\displaystyle z}$ della ${\displaystyle x}$. Sia cioè

                              ${\displaystyle y=f(z)}$               ,               ${\displaystyle z=\varphi (x)}$.

Vale a dire, quando la ${\displaystyle x}$ varia in un certo intervallo, sia individuato il valore della variabile ${\displaystyle z}$; e questo valore della ${\displaystyle z}$ individui alla sua volta il valore di ${\displaystyle y}$ (§ 29, γ, pag. 97).

Supponiamo che esistano le derivate ${\displaystyle y_{z}=f'(z){\text{e}}z'_{x}=\varphi '(x)}$ della ${\displaystyle y}$ rispetto alla ${\displaystyle z</<math>,edella<math>z}$ rispetto alla ${\displaystyle x}$. Si vuol trovare la derivata ${\displaystyle y'_{x}}$ della ${\displaystyle y}$ (considerata come funzione della ${\displaystyle x}$) rispetto alla ${\displaystyle x}$.

L'incremento ${\displaystyle \Delta x}$ dato alla ${\displaystyle x}$ individua il corrispondente incremento ${\displaystyle \Delta z}$ ricevuto dalla ${\displaystyle z}$; e questo individua l'incremento della ${\displaystyle Deltay}$ della ${\displaystyle y}$.