ancora una volta l'opportunità della definizione di Eulero). Infatti, se

allora

Derivando con le regole abituali si prova facilmente l'asserto.

1° Si derivi ${\displaystyle y=x^{n}}$.

Ris.${\displaystyle \log \,y=n\,\log \,x,\,(\log \,y)'_{x}={\frac {n}{x}},y'_{x}=x^{n}{\frac {n}{x}}=nx^{n-1}}$.

Questo risultato fondamentale era stato già da noi dimostrato per ${\displaystyle n}$ razionale (pag. 184 del § 58, eserc. 4°). Il lettore esamini il caso di ${\displaystyle x\,\leq \,o}$.

2° Si derivi ${\displaystyle y=[f(x)]^{n}}$.

Ris. ${\displaystyle \log \,y=n\,\log \,f(x);(\log \,y)'_{x}=n[\log \,f(x)]';x=n{\frac {f'(x)}{f(x)}}}$, donde ${\displaystyle y'_{x}=my{\frac {f'(x)}{f(x)}}=n[f(x)]^{n-1}}$. Si esamini il caso di ${\displaystyle f(x)\,\leq \,0}$.

Con altro e più semplice metodo si ponga ${\displaystyle z=f(x)}$. Sarà ${\displaystyle y=z^{n},z=f(x)}$ donde ${\displaystyle y'_{x}=nz^{n-1}\,z'_{x}=n[f(x)]^{n-1}f'(x)}$.

Anche questa formola ci era già nota per il caso di ${\displaystyle n}$ intero positivo (eserc. 2° del § 56, pag. 181).

3° Si derivi ${\displaystyle y=[f(x)]^{\varphi (x)}}$.

Si ha ${\displaystyle \log \,y=\varphi (x)\,\log \,f(x)}$; e perciò

${\displaystyle y'_{x}=f^{\varphi }[\varphi (x)\,\log \,f(x))]'_{x}=f^{\varphi }{\begin{Bmatrix}\varphi \,{\frac {f'(x)}{f(x)}}+\varphi '(x)\,\log \,f(x)\end{Bmatrix}}}$.

Si possono riassumere così i precedenti risultati:

Se ${\displaystyle y}$ è una funzione della ${\displaystyle x}$, che si può calcolare con somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamenti a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche, e trigonometriche, altrettanto avviene generalmente per ${\displaystyle y'}$.