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ALTRE DERIVATA NOTEVOLI (a=cost.).

${\displaystyle y={\text{cost}}}$;                         ${\displaystyle y'=0}$
${\displaystyle y=[f(x)]^{n}}$; ${\displaystyle y'=n[f(x)]^{n-1}f'(x)}$	${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$; ${\displaystyle y'={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{a-1}}}}}}$
${\displaystyle y={\text{arctg}}{\frac {x}{a}}}$;     ${\displaystyle y'={\frac {a}{x^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$     ${\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$
${\displaystyle y={\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}}$; ${\displaystyle y'={\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}$	${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{f(x)}}}$; ${\displaystyle y'={\frac {f'(x)}{n{\sqrt[{n}]{f)x=^{n-1}}}}}}$
${\displaystyle y=a\,\varphi \,(x)}$; ${\displaystyle y'=a\,\varphi '(x)}$	${\displaystyle y={\sqrt {f(x)}}}$; ${\displaystyle y'={\frac {1}{2{\sqrt {f(x)}}}}f'(x)}$

α) Sia ${\displaystyle v(x)}$ la velocità di un punto mobile ${\displaystyle M}$ all'istante ${\displaystyle x}$. Il movimento si dice uniformemente accelerato, se la velocità riceve incrementi uguali in tempi uguali; e il tal caso il rapporto ${\displaystyle {\frac {\Delta \,v}{\Delta \,x}}}$, dove ${\displaystyle \Delta v}$ è l'incremento ricevuto dalla velocità in un intervallo di tempo di ampiezza ${\displaystyle \Delta x}$, si dice l'accelerazione del movimento.

Ne caso generale tale rapporto assume il nome di accelerazione media nell'intervallo (${\displaystyle x,x+\Delta x}$) di tempo considerato. E, per ragioni analoghe a quelle svolte negli esempi di pag. 157 e seg., il suo limite per ${\displaystyle \Delta x=0}$, ossia ${\displaystyle v'(x)=\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta v}{\Delta x}}}$ si dice accelerazione all'istante ${\displaystyle x}$. L'accelerazione si presenta così come la derivata della velocità ${\displaystyle v(x)}$ rispetto al tempo ${\displaystyle x}$.

Ora, se ${\displaystyle y=f(x)}$ è lo spazio percorso dal nostro punto ${\displaystyle M}$ all'istante ${\displaystyle x}$, è ${\displaystyle v(x)=f'(x)}$. Quindi l'accelerazione è data dalla derivata della derivata ${\displaystyle f'(x)}$ di ${\displaystyle f(x)}$.

β) In generale la derivata della derivata ${\displaystyle f'}$ di una funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ si indica con ${\displaystyle y''}$ o con ${\displaystyle f''(x)}$ e si chiama derivata seconda di <math<y=f(x)</math>. Questa p una nuova funzione di ${\displaystyle x}$, che a sua volta può ammettere una derivata che si chiama derivata terza di ${\displaystyle y}$ e si indica con ${\displaystyle y'''}$ o con ${\displaystyle f'''(x)}$. E così via.

In generale ${\displaystyle y}$ può ammettere una derivata ${\displaystyle n^{esima}}$ o dell'ordine ${\displaystyle n}$ che si indica con ${\displaystyle y^{(n)}}$ o con ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$.

La ${\displaystyle y'=f'(x)}$ si chiama anche prima derivata di ${\displaystyle y}$.

Con ${\displaystyle d^{2}y}$ si indica il prodotto di ${\displaystyle f''(x)}$ per ${\displaystyle dx^{2}}$.

Con ${\displaystyle d^{n}y}$       ”           ”      ” ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$  ” ${\displaystyle dx^{n}}$.

Il simbolo ${\displaystyle d^{n}y}$, teste definito, riceve il titolo di differenziale ${\displaystyle n^{esimo}}$.