[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:213|3|0]]sarà un punto

dove ${\displaystyle 0<\theta <1}$.

Il punto c soddisferà quindi alla:

per cui si avrà:

Questa formola fondamentale costituisce il teorema di Cauchy.

Se ${\displaystyle \varphi (x)=x,\,\varphi '(c)=1}$, la (2) diventa

e se ${\displaystyle b=a+h}$, diventa

ossia, essendo per (1) ${\displaystyle c=a+\theta \,h}$:

Questa formola costituisce appunto il teorema della media di Lagrange, da cui siamo partiti, e che nel caso ${\displaystyle f(a+h)=f(a)}$ si riduce al teorema di Rolle.

α) Si può dimostrare semplicemente il teorema di Heine (pag. 135) per una funzione ${\displaystyle f(x)}$ definita in un intervallo ${\displaystyle (a,b)}$ nel caso che la sua derivata ${\displaystyle f(x)}$ sia limitata, che cioè esista una costante ${\displaystyle H}$ tale che ${\displaystyle |f'(x)|<H}$. Se ${\displaystyle \epsilon >0}$ è un numero arbitrario, sia <mahth>\alpha</math> un qualsiasi intervallo parziale di ampiezza superiore ad ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{H}}}$. Siano ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ due punti di ${\displaystyle \alpha }$, ove la ${\displaystyle f(x)}$ assume il massimo e il minimo dei valori, che ${\displaystyle f(x)}$ assume in ${\displaystyle \alpha }$. L'oscillazione ${\displaystyle f(\gamma _{1})-f(\gamma _{2})}$ in ${\displaystyle \alpha }$ vale ${\displaystyle (\gamma _{1}-\gamma _{2})f'(\gamma )}$, dove ${\displaystyle \gamma }$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle \gamma _{1}}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}}$. Poichè ${\displaystyle |\gamma _{1}-\gamma _{2}|\leq {\frac {\epsilon }{H}}}$ e ${\displaystyle |f'(y)|<H}$, tale oscillazione non supera ${\displaystyle \epsilon }$.                                                                                                                        c. d. d.

β) La formola ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(a)-f(b)}{\varphi (a)-\varphi (b)}}\varphi '(c)}$ diventa (se ${\displaystyle \varphi '(c)\not =0}$) ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{\varphi (b)-\varphi (a)}}={\frac {f'(c)}{\varphi (c)}}}$.