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Se si suppone senz'altro ${\displaystyle \varphi '(x)\not =0}$ nei punti interni all'intervallo (${\displaystyle a,b}$), allora soltanto nel punto (incognito) c sarà ${\displaystyle \varphi '(c)\not =0}$, ma sarà anche soddisfatta l'altra ipotesi iniziale ${\displaystyle \varphi (a)\not =\varphi (b)}$, esisterebbe, per il teorema di Rolle, almeno un punto ${\displaystyle x}$, interno all'intervallo, ove si avrebbe ${\displaystyle \varphi '(x_{1})=0}$.

Se ${\displaystyle f(a)=\varphi (a)=0}$, allora, posto ${\displaystyle b=x,c=x_{1}}$, se ne deduce:

[${\displaystyle x_{1}}$ appartenente all'intervallo ${\displaystyle (a,x)}$].

Cioè:

Se le funzioni continue e derivabili f (x), φ (x) sono nulle per x${\displaystyle =}$a, e nei punti interni all'intervallo (a, x) la φ' (x) è differente da zero, allora il rapporto ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\varphi (x)}}}$ è uguale al rapporto delle derivata prime in un punto x₁ interno all'intervallo (a, x).

Al variare della ${\displaystyle x}$ in un intorno ${\displaystyle \alpha }$ di ${\displaystyle a}$, la ${\displaystyle x_{1}}$ percorrerà un certo insieme ${\displaystyle \gamma }$ di valori dello stesso intorno (cfr. Nota a pag. 200).

Se esiste il ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {f'(x)}{\varphi '(x)}}}$ , esisterà anche il ${\displaystyle \lim _{x_{1}=a}{\frac {f'(x_{1})}{\varphi _{(}x_{1}}}}$, e quindi per la (1) esisterà anche il ${\displaystyle \lim _{x=a}{\frac {f(x)}{\varphi (x)}}}$, cioè il limite del rapporto delle loro derivate prime ${\displaystyle \mathrm {f'(x),\varphi '(x)} }$.

Se anche le derivate prime di ${\displaystyle f,\varphi }$ sono nulle nel punto ${\displaystyle a}$ e se ${\displaystyle \varphi ''\not =0}$ quando ${\displaystyle x\not =a}$, potremo, applicando di nuovo lo stesso teorema, scrivere l'uguaglianza

dove ${\displaystyle x_{2}}$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle x_{1}}$ e quindi anche intermedio tra ${\displaystyle a}$ ed ${\displaystyle x}$.

Così continuando troviamo infine che, se esistono le derivata delle f, φ fino a quelle di ordine ${\displaystyle \mathrm {n+1} }$, se le ${\displaystyle \mathrm {f,\varphi } }$ e le prime loro n derivate sono nulle per ${\displaystyle \mathrm {x=a} }$ (mentre le ${\displaystyle \mathrm {\varphi ',\varphi '',\cdots ,\varphi ^{(n)},\varphi ^{(n+1)}} }$ sono differenti da zero per ${\displaystyle \mathrm {x\not =a} }$), allora

dove ${\displaystyle \xi }$ è un punto intermedio tra a ed x.

Se ne deduce una celebre formola dovuta pure a Lagrange conservando le ipotesi fatte per ${\displaystyle f(x)}$ e ponendo ${\displaystyle \varphi (x)=(x-a)^{n+1}}$ col che le ipotesi fatte per ${\displaystyle \varphi (x)}$ risultano soddisfatte. Poichè