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${\displaystyle \varphi ^{(n+1)}(x)=\lfloor {n+1}}$ si deduce il seguente teorema d'importanza fondamentale:

Se ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ possiede le prime ${\displaystyle \mathrm {n+1} }$ derivate, e se ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ insieme alle prime ${\displaystyle \mathrm {n} }$ derivate è nulla nel punto ${\displaystyle \mathrm {a} }$, allora

dove ${\displaystyle \xi }$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle \mathrm {a} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {x} }$.

Osservazione. Se ne deduce in tal caso

Poichè ${\displaystyle \lim _{x=a}\xi =a}$ sarà, se ${\displaystyle \mathrm {f^{(n+1)}(x)} }$ è continua nel punto ${\displaystyle \mathrm {a} }$, e se ${\displaystyle \mathrm {f(a)=f'(a)=...f^{(n)}(a)=0} }$:

Questa formola vale anche nella ipotesi che esista la ${\displaystyle (n+1)^{esima}}$ derivata di ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ nel punto ${\displaystyle \mathrm {a} }$ e sia determinata e finita (senza che sia necessario ammetterne la continuità). Infatti si trova, come sopra,

Poichè ${\displaystyle f^{(n)}(a)=0}$, sarà, posto ${\displaystyle x_{1}-a=h}$,

Da cui, passando al limite per ${\displaystyle h=0}$, si trae subito il teorema enunciato.

In particolare, poichè ${\displaystyle {\frac {1}{\lfloor {n+1}}}}$ è positivo, e poichè ${\displaystyle {\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}}$ ha, per ${\displaystyle x}$ abbastanza prossimo ad ${\displaystyle a}$, il segno del suo limite per ${\displaystyle x=a}$, se ne deduce che, per ${\displaystyle x}$ prossimo ad ${\displaystyle a}$, la ${\displaystyle {\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}}$ ha il segno di ${\displaystyle f^{(n+1)}(a)}$, se questa derivata è determinata e finita e se ${\displaystyle f(a)=f'(a)=...=f^{(n)}(a)=0}$.

Posto ${\displaystyle x=a+h}$, si vede che, per ${\displaystyle h}$ abbastanza piccolo, nelle nostre ipotesi coincidono i segni di ${\displaystyle {\frac {f(a+h)}{h^{n+1}}}}$ e di ${\displaystyle f^{(n+1)}(a)}$, cioè coincidono i segni di ${\displaystyle f(a+h)}$ e di ${\displaystyle h^{n+1}f^{(n+1)}(a)}$.

Noi abbiamo dato in questo paragrafo un procedimento per calcolare il limite di un quoziente in qualche caso, in cui non sono applicabili i teoremi del § 35, pag. 115-116. Ad altri

casi analoghi sono applicabili le seguenti osservazioni.