[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:217|3|0]]

γ) Interpolazione.

Capita molte volte di dover trovare un numero ${\displaystyle \varphi (x)}$ approssimato del valore che ${\displaystyle f(x)}$ assume nei punti ${\displaystyle x}$ di un intervallo ${\displaystyle (a,b)}$, quando si conoscano i valori ${\displaystyle f(a)}$ ed ${\displaystyle f(b)}$ che la ${\displaystyle f(x)}$ assume nei punti ${\displaystyle a,b}$. Ciò capita in pratica specialmente per il calcolo delle funzioni logaritmiche e trigonometriche: così p. es., se ${\displaystyle f(x)=\log x}$ se dalle tavole logaritmiche sono fati i valori di ${\displaystyle \log 1000}$ e di ${\displaystyle \log 1001}$, e si deve scrivere un valore approssimato del logaritmo di ${\displaystyle 1000,5}$.

La formola, p. es., che si usa, come è ben noto, è la seguente:

(dove, nel caso che si ricorra a tavole numeriche, la ${\displaystyle f(b)-f(a)}$ dicesi la differenza tavolare).

Quale errore si commette usando tale formola, cioè scrivendo ${\displaystyle \varphi (x)}$ al posto di ${\displaystyle f(x)}$.

Si noti che in virtù del teorema della media,

dove ${\displaystyle c}$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Così pure in virtù del teorema della media ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=f'(\xi )}$, cosicchè ${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(\xi )}$; e similmente

dove ${\displaystyle \xi }$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle a/math>ed<math>x}$ e quindi , anche tra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, ed ${\displaystyle \eta _{1}}$ è un altro punto dell'intervallo ${\displaystyle (a,b}$.

Quindi l'errore ${\displaystyle |f(x)-\varphi (x)|}$ commesso scrivendo ${\displaystyle \varphi (x)}$ al posto di ${\displaystyle f(x)}$ vale ${\displaystyle |x-a||f'(c)-f'(\xi )|=|x-b||f'(c)-f'(\eta )|}$. E, se ${\displaystyle f(x)}$ possiede derivata seconda, tale errore vale ${\displaystyle |(x-a)(c-\xi )f''(\xi _{1})|=|(x-b)(c-\eta )f''(\eta _{1})|}$ dove, secondo il teorema della media, ${\displaystyle \xi }$, è intermedio tra ${\displaystyle c}$ ed ${\displaystyle \xi }$, mentre ${\displaystyle \eta }$, è intermedio tra ${\displaystyle c}$ ed ${\displaystyle \eta }$. Cosicchè ${\displaystyle \xi _{1}}$ ed ${\displaystyle \eta _{1}}$ sono punti di ${\displaystyle (a,b)}$. Se dunque ${\displaystyle |f'(x)|}$ in ${\displaystyle (a,b)}$ non supera la costante ${\displaystyle M}$, allora, poichè ${\displaystyle |c-\xi |<|b-a|{\text{e}}|(c-\eta )|<|b-a|}$, tale errore non supera ${\displaystyle |(x-a)(b-a)M|}$, nè ${\displaystyle |(x-b)(b-a)M|}$ e quindi neanche il più piccolo di questi due che è certo non superiore a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b-a)^{2}M}$.

Il lettore applichi questo risultato alle usuali tavole logaritmiche.

Oss. Si noti che, sostituendo la ${\displaystyle \varphi (x)}$ alla ${\displaystyle f(x)}$, si è sostituito alla ${\displaystyle f(x)}$ un polinomio di primo grado che in due punti (nei punti ${\displaystyle x=a,x=b}$) assume lo stesso valore di ${\displaystyle f(x)}$. Si potrebbe generalizzare il metodo, sostituendo, p. es., ad ${\displaystyle f(x)}$ un polinomio di grado ${\displaystyle n-}$, che in ${\displaystyle n}$ punti assumesse lo stesso valore che la ${\displaystyle f(x)}$ Per la determinazione di tale polinomio cfr. i §§ 14 . 49, 27 . 90.

δ) Criterio di convergenza di Cauchy.

Sia ${\displaystyle f(x)}$ una funzione definita nell'intervallo (${\displaystyle 1,+\infty }$, che la derivata ${\displaystyle f'(x)}$ sempre positiva; al crescere di ${\displaystyle x}$ la ${\displaystyle f'(x)}$ diminusice. Se ${\displaystyle a,b}$ sono due valori di ${\displaystyle x}$, se ${\displaystyle a<b}$, allora ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ è uguale al valore di ${\displaystyle f'(x)}$ in un punto dell'intervallo (${\displaystyle a,b}$; tale frazione è dunque positiva minore di ${\displaystyle f'(a)}$ , maggiore di ${\displaystyle f'(b)}$. In particolare ${\displaystyle F(b)-f(a)}$ è positivo, ${\displaystyle f(b)>f(a)}$. Cosicchè ${\displaystyle f(x)}$ cresce quando cresce il valore dato ad ${\displaystyle x}$, e tende quindi a un limite per ${\displaystyle x=+\infty }$. Di più, ponendo ${\displaystyle a=m,b=m+1}$, oppure ${\displaystyle a=m-1,b=m}$, si trova:

Scrivendo queste disuguaglianze per ${\displaystyle m=2,3,4,\cdots ,n}$, e sommando si trova: