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Quindi la serie

converge o diverge secondo che ${\displaystyle \lim _{x=+\infty }f(x)}$ è finito o infinito, perchè la somma dei suoi primi ${\displaystyle n}$ termini è compresa tra

e tende per ${\displaystyle n=\infty }$ a un limite finito soltanto quando altrettanto avviene per ${\displaystyle f(n),f(n+1)}$.

Ponendo ${\displaystyle f(x)=\log x}$, oppure ${\displaystyle f(x)=\log \log x}$, oppure ${\displaystyle f)x)=\log \log \log x}$ si dimostra subito, p. es., che la serie

sono divergenti. Nella seconda si è cominciato dal termine corrispondente ad ${\displaystyle x=2}$ perchè per ${\displaystyle x=1}$ la ${\displaystyle f(x)=\log \log x}$ non ha derivata finita.

ε) Funzioni a derivata nulla.

Ricordiamo il teorema:

Una funzione costante ha derivata identicamente nulla.

Dimostriamo il teorema reciproco, d'importanza fondamentale: Una funzione ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ la cui derivata è identicamente nulla, è costante.

Infatti siano ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b=a+h}$ due punti qualsiasi dell'intervallo, ove la ${\displaystyle f(x)}$ è definita. Per il teorema della media di Lagrange, il rapporto

è uguale alla derivata ${\displaystyle f'(x)}$ in un punto intermedio, ed è quindi nullo, perchè ${\displaystyle f'(x)}$ è nulla dappertutto. Il suo numeratore è quindi nullo; cioè ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. La funzione ${\displaystyle f(x)}$, riprendendo lo stesso valore in due punti qualsiasi ${\displaystyle a,b}$, è quindi una costante.     c. d. d.

Questo teorema è geometricamente intuitivo. Dire che ${\displaystyle f'(x)}$ è sempre nullo è asserire che le tangenti alla curca ${\displaystyle y=f(x)}$ sono tutte parallele all'asse delle ${\displaystyle x}$. Dire che ${\displaystyle f(x)}$ è costante equivale ad asserire che la curva ${\displaystyle y=f(x)}$ è una retta o un segmento, i cui punti distano ugualmente dall'asse delle ${\displaystyle x}$, ossia che tale curva è un segmento parallelo all'asse delle ${\displaystyle x}$. Il teorema geometricamente significa dunque:

Se le tangenti della curva ${\displaystyle \mathrm {y=f(x)} }$ sono tutte parallele all'asse x, tale curva è una retta o un segmento all'asse delle x.

meccanicamente questo teorema è pure evidente, e ci dice che un punto il quale si muove su una retta (ed ha all'istante