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In particolare:

Condizione necessarie e sufficiente affinchè a sia radice della ${\displaystyle \mathrm {f(x)=0} }$ di ordine maggiore di 1 è che a sia radice della ${\displaystyle \mathrm {f(x)=0} }$, e sia radice (di ordine positivo) della ${\displaystyle \mathrm {f'(x)=0} }$.

Questo teorema ha particolare importanza nel caso dei polinomi ${\displaystyle P(x)}$. Se ${\displaystyle P(x)=\alpha _{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2}).....(x-\alpha _{n})}$, uno dei numeri ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},....,\alpha _{n}}$, p. es., ${\displaystyle \alpha _{1}}$, sarà radice della ${\displaystyle P(x)=0}$ di ordine ${\displaystyle h}$, soltanto se ${\displaystyle h}$ è un intero positivo, e se tra i numeri ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},.....,\alpha _{n}}$ ve ne sono ${\displaystyle h}$ uguali ad ${\displaystyle \alpha _{1}}$. Il fattore corrispondente ${\displaystyle x-\alpha _{1}}$ compare ${\displaystyle h-1}$ volte in ${\displaystyle P'(x),h-2}$ volte in ${\displaystyle P''(x),.....}$, una volta in ${\displaystyle P^{(h-1)}(x)}$, nessuna volta in ${\displaystyle P^{(h)}(x)}$. È facile dedurne:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè ${\displaystyle \alpha _{1}}$ sia radice di ordine h per un'equazione algebrica ${\displaystyle P(x)=0}$ è che h sia un intero, e che ${\displaystyle \alpha _{1}}$ sia radice delle ${\displaystyle P(x)=0,P'(x)=0,.....,P^{(h-1)}(x)=0}$ e non sia radice della ${\displaystyle P^{(h)}(x)=0}$.

Quest'ultimo teorema vale anche se ${\displaystyle \alpha _{1}}$ è un numero complesso ed anche se i coefficienti di ${\displaystyle P(x)}$ sono complessi.

Se ne deduce anche:

Il massimo comun divisore di ${\displaystyle \mathrm {P(x)} }$ e ${\displaystyle \mathrm {P'(x)} }$ contiene tutti e i soli fattori multipli del polinomio ${\displaystyle \mathrm {P(x)} }$; e precisamente contiene ${\displaystyle \mathrm {h-1} }$ volte un fattore multiplo di ordine h. Se ${\displaystyle \mathrm {Q(x)} }$ è il quoziente di ${\displaystyle \mathrm {P(x)} }$ per tale massimo comun divisore, l'equazione ${\displaystyle \mathrm {Q(x)=0} }$ ha per radici semplici tutte e solo le radici di ${\displaystyle \mathrm {P(x)=0} }$.

Si può, del resto, dedurre da quanto precede un metodo più completo per approfondire l'esame di una equaazione algebrica dotata di radici multiple. E noi, per semplicità, lo esporremo in un caso particolare.

Consideriamo un'equazione dotata di radici multiple, p. es., la:

Il massimo comune divisore ${\displaystyle \varphi (z)}$ tra la ${\displaystyle f(z)}$ e la sua prima derivata ${\displaystyle f'(z)}$ è:

Del pari il massimo comune divisore tra ${\displaystyle \varphi (z)}$ e ${\displaystyle \varphi '(z)}$ è:

Così il massimo comune divisore tra ${\displaystyle \varphi _{1}(z)}$ e ${\displaystyle \varphi '_{1}(z)}$ è:

Infine il M. C. D. tra ${\displaystyle \varphi _{2}(z)}$ e ${\displaystyle \varphi '_{2}(z)}$ è:

Ciò posto, si formino i quozienti:

${\displaystyle \psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)}$;

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)(}$:

${\displaystyle \psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(x)}}=(z-e)(z-f)}$;

${\displaystyle \psi _{3}(z)={\frac {\varphi _{2}(z)}{\varphi _{3}(z)}}=z-f}$.