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1° Riconoscere coi metodi precedenti se e quando avviene che una delle seguenti equazioni ha una radice doppia, o tripla, o ecc.

                                                  ${\displaystyle x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0}$

                                                  ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

                                                  ${\displaystyle {\text{cos}}\,x-p=0}$

                                                  ${\displaystyle e^{x}-p=0}$

                                                  ${\displaystyle \log \,x-p=0}$

dove le ${\displaystyle a_{i},\,p,\,q,\,r}$ sono costanti.

2° Risolvere le seguenti equazioni, tutte dotate di radici multiple.

Teor. Se la serie

(1)                                        ${\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+.\,.\,.\,.\,.}$

è convergente nell'intervallo ${\displaystyle \mathrm {a\leq x\leq b} }$, se esiste la derivata di ogni suo termine, se la serie delle derivate

(2)                              ${\displaystyle u'_{1}(x)+u'_{2}(x)+u'_{3}(x)+.\,.\,.\,.\,.}$

è totalmente convergente in (a, b), allora (2) rappresenta proprio la derivata di (1). Cioè la derivata di (1) si può ottenere derivando termine a termine.

Sia ${\displaystyle L_{n}}$ il limite superiore dei valori ${\displaystyle |u_{n}(x)|}$. per ipotesi la serie ${\displaystyle L_{1}+L_{2}+L_{3}+.....}$ è convergente. Consideriamo i valori assoluti dei rapporti incrementali

(3)                                        ${\displaystyle \left|{\frac {u_{n}(x+h)-u_{n}(x)}{h}}\right|}$,

quando ${\displaystyle x}$ ed ${\displaystyle x+h}$ variano nell'intervallo (${\displaystyle a,b}$). Per il teorema della media, la quantità (3) vale ${\displaystyle |u'_{n}(x+\theta \,h|\leq L_{n}}$. Quindi (3) non può superare ${\displaystyle L_{n}}$. E quindi la serie

(4)     ${\displaystyle {\frac {u_{1}(x+h)-u_{1}(x)}{h}}+{\frac {u_{2}(x+h)-u_{2}(x)}{h}}+}$

è totalmente convergente. Il suo limite per ${\displaystyle h=0}$ è dunque uguale alla serie ottenuta passando al limite termine a termine. Perciò i limite di (4) per ${\displaystyle h=0}$ vale

(2)                    ${\displaystyle u'_{1}(x)+u'_{2}(x)+u'3+.\,.\,.\,.\,.}$

Ora, se ${\displaystyle u(x)}$ è la somma di (1), la (4) vale ${\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}}$. Dunque la serie (2) è il ${\displaystyle \lim _{h=0}\,{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}}$ cioè vale ${\displaystyle u'(x)}$.