[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:228|3|0]]cienti dei termini di grado superiore ad ${\displaystyle n}$. Ciò che si può verificare, osservando che un polinomio di grado ${\displaystyle n}$ ha nulle tutte le derivate di ordine superiore ad ${\displaystyle n}$. per ogni polinomio ${\displaystyle P_{n}(x)}$ di grado ${\displaystyle n}$ vale dunque (posto ${\displaystyle P=P_{n}}$) la:

(7)     ${\displaystyle P_{n}(x)=P(\alpha )+{\frac {P'(\alpha )}{1}}(x-\alpha )+{\frac {P''(\alpha )}{\lfloor {2}}}(x-\alpha )^{2}+.....}$

il lettore verifichi direttamente che (7) è un'identità, viluppando i singoli termini del secondo membro con la formola del binomio.

Ci proponiamo ora un problema intimamente connesso al precedente risultato, cioè il problema seguente:

Se ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ è una funzione reale prefissata della variabile reale ${\displaystyle x}$ data in un intorno nel punto ${\displaystyle x=\alpha }$, come si può riconoscere se essa è sviluppabile in serie (di Taylor) di potenze della variabile ${\displaystyle \mathrm {x-\alpha } }$?

Se tale sviluppo è lecito, allora in un intorno di α dovrebbe, come sappiamo, valere la

${\displaystyle f(x)=f(\alpha )+{\frac {x-\alpha )}{1}}f'(\alpha )+.....+{\frac {(x-\alpha )^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(\alpha )+.....}$

che equivale (per definizione di serie) alla

${\displaystyle \lim _{n=\infty }\left[f(x)-{\begin{Bmatrix}f(\alpha )+{\frac {(x-\alpha )}{1}}f'(\alpha )+{\frac {(x-\alpha )^{2}}{\lfloor {2}}}f''(\alpha )+.....{\frac {(x-\alpha )^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(\alpha )\end{Bmatrix}}\right]=0}$.

La quantità tra ${\displaystyle [\,]}$ si chiama rest0, e si indica con ${\displaystyle R_{n}}$. È dunque

(8) ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)}$ dove ${\displaystyle P_{n}(x)=f(\alpha )+{\frac {x-\alpha }{1}}f'(\alpha )+.....}$